在数学习题教学中充分发挥填空题的教学功能

【前言】在数学习题教学中充分发挥填空题的教学功能由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。例1?摇 对a，b∈R，记max｛a，b｝=a，a≥b，b，a>b. 函数f（x）=max｛x+1，x-2｝（x∈R）的最小值为________?摇. 这是一道情境全新的问题，如何理解“max｛a，b｝”、“max｛x+1，x-2｝”？ 在数形结合的思想指导下迅速想到画出图象. 由函数y=x+1与y=x-2的图象得交点...

摘 要：江苏的数学高考题中填空题分值重，且处于试卷的开始部分，解答是否顺利与成功在很大程度上决定着考生能否迅速进入最佳状态，其重要性可见一斑. 鉴于此，本文结合实例分析讨论了填空题的特点，并着重研究了习题教学中填空题的教学功能，以期引起教师对填空题教学的重视，实现填空题特有的教育意义.

关键词：填空题；五大特点；教学功能

随着高考命题的不断改革并逐渐趋于稳定和完善，以及数学教师对填空题及其解法研究的深入，笔者越来越感到填空题是数学习题教学中不可或缺的“一盘大餐”. 以江苏高考为例，填空题的分值大概为70分，约占总分中的44%. 份额如此之重，且又处于试卷的开始部分，解答填空题是否顺利与成功在很大程度上决定着考生能否迅速进入最佳状态，进而取得理想的成绩. 因此，十分有必要进一步探讨填空题在数学习题教学中不可小觑的教学功能.

填空题的特点

填空题具有五大特点：“短、平、快、宽、灵”. “短”，一是指题目的文字篇幅不长，容易做到首尾相顾，便于从整体上驾驭；二是指解题的“工程量”不大，且不需要规范地写出全部推理过程. “平”，指的是难度不是很大，且从这部分的卷首题到把关题，具有平缓而合理的坡度.沿着顺序走下去，渐渐地烘热大脑，可逐步使考生进入考场的“角色”之中，甚至达到“宠辱不惊”的“忘我”境界，水平得以超常发挥. “短”与“平”决定了其“快”的特点，读题采撷信息快，领会理解题意快，检索搜寻反应快，书写解答快，课堂教学节奏快，在不长的时段内可处理较多的题目，收效巨大.“宽”，是指知识覆盖面宽与解法的多样性，体现的是在知识交汇处命题的理念，可谓小中见大. 填空题结构精巧，解法灵活，发人深省，启迪智慧，可谓“灵”. 现特举几例让我们领略填空题的风采.

例1?摇 对a，b∈R，记max｛a，b｝=a，a≥b，b，a>b. 函数f（x）=max｛x+1，x-2｝（x∈R）的最小值为________?摇.

这是一道情境全新的问题，如何理解“max｛a，b｝”、“max｛x+1，x-2｝”？

在数形结合的思想指导下迅速想到画出图象. 由函数y=x+1与y=x-2的图象得交点，. 再揣摩题意“两者取大”，得图1中的粗线条；再来个“大中取小”，所求最小值不就是吗？

图1

题目结构之精巧，解法技能中的“生、熟”融会，令人感到赏心悦目.

例2?摇 对于一切x∈0，，不等式x2+ax+1≥0恒成立，则a的最小值是____.

函数、方程与不等式永远是数学考试的热点内容，通常的设问是求某参数的取值范围，而此题却是求参数a的最小值，新颖独特. 若考虑函数f（x）=x2+ax+1在0，上的最小值恒大于0，则将简单问题复杂化了，可灵活“转换角色”，将x2+ax+1看成关于a的函数g（a）=x•a+x2+1，则得如下解法.

解法一：因为x∈0，，所以g（a）=x•a+x2+1是关于a的一次函数，且为增函数，那么可得g（0）≥0，g≥0，

解得a≥－.

注意，求的是a的最小值，不能只用g（0）≥0，还应有g≥0.

能否将参数a从整个式子中分离出来呢？于是得解法二.

解法二：由原式得a≥－x－=－x+. 因为x+在0，上是减函数，所以－x+在0，上是增函数，且当x=时，有最大值－. 因此，a≥－.

“转换角色”与“分离参数”都是必须熟练掌握的重要技能. 小小的一道选择题却涵盖了这么多重要内容，“小中见大”的原则被演绎得淋漓尽致.

例3 设an＞0，a1=2，当n≥2时，an+an-1=+2，则数列｛an｝的通项公式为an=__________.

递推数列的试题近年来有升温的趋势，但又不会太难，此题即为典型的一例. 这里很难找到an与an-1之间的一个简单的递推关系式，将右边分母中的an-an-1乘过去，不行！最难对付的是等号右边的2，若能将它融入其他式子中就好办了，于是有（an－1）+（an-1－1）=，从而（an－1）2－（an-1－1）2=n. 因此，（a2－1）2－（a1－1）2=2，（a3－1）2－（a2－1）2=3，…，（an－1）2－（an-1－1）2=n. 将这n-1个式子左右两边分别相加得（an－1）2=1+2+…+n=，开方得an－1=，于是an=1+.

递推关系的处理、逐差累加法、等差数列求和等基本技能在很大程度上得到了强化.

例4 P是双曲线－=1（a>0，b>0）右支上异于顶点的任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为M，则M点的轨迹是________.

“双曲线、异于顶点的任意一点、两个焦点、角平分线、垂线、垂足”等关键字眼，结合图2，组成一幅美妙的画图，精巧地构成一道新颖独特的轨迹问题.

由角平分线想到图形的对称，设F1M，PF2的延长线交于Q，则PF1=PQ.

由双曲线的定义知，F2Q=PQ-PF2=PF1-PF2=2a. 又O，M分别是F1F2，F1Q的中点，所以OM=a，M点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆，不含x轴上的两点.

平面几何与解析几何知识的联袂化解了难以突破的难点，给解题注入了活力与信心.

填空题的教学功能

填空题的特点决定了它们在数学习题教学中的重要地位和巨大功能.

1. 节时高效

“内容多、任务重、时间紧”是数学习题教学中最突出的矛盾. 一节课40到45分钟，若处理大题，且还要追求解题的规范完整，则很难解决几道题. 笔者在这里决不是排斥大题的处理与价值，而是主张在处理大题的同时一定要辅以填空题，以取得教学的“节时高效”.

例5 设a＞0，若曲线C：y=ax2+bx+c在点P（x0，y0）处的切线的倾斜角的取值范围是0，，则点P到曲线C的对称轴距离的取值范围是________.

导数及其应用已成为数学高考的热点，一道导数应用的综合题，从分析到解答，再回顾，没有20分钟解决不了问题.然而，填空题在这方面却显示出独特的优势.

求导得y′=2ax+b，点P的切线斜率为2ax0+b. 又切线的倾斜角的取值范围是0，，故切线斜率的取值范围是［0，1］，于是2ax0+b∈［0，1］. 而曲线C的对称轴为x=－，则点P到直线x=－的距离为x0+=∈0，.

仅用4、5分钟，就复习了求导法则、导数的几何意义、倾斜角的概念、由倾斜角的取值范围求斜率的取值范围、二次函数图象的对称轴、点到直线的距离、绝对值等重要“双基”，片面单纯地处理大题是很难取得这种效果的.

2. 克服“疲劳”

在面对大量的题目与频繁的考试的过程中，学生会“智力疲劳”而产生“厌战”的情绪. 此时，若仍然一味地向他们灌输工程浩大的解答题，则收效甚微.然而适当配以一些“短、平、快、宽、灵”的填空题，却可以调节学生的精神和心理，缓解智力疲劳.

例6 椭圆的离心率为，A是其左顶点，F是其右焦点，B是其短轴的一个顶点，则∠ABF的大小是______.

文字精练简洁，信息量少，学生心理压力不大，即使在心力疲惫的状态下，学生也愿意再投入精力去战胜它.

由=，得=，则可设a2=2，c2=3－，那么b2=－1. 因为=（a，b），=（－c，b），所以•=（a，b）•（－c，b）=－ac+b2=－+－1=0，故∠ABF=.

离心率是一个十分活跃的角色，它与向量的数量积的结合在这里演绎了一出引人入胜、精彩绝伦的好戏，对于智力疲劳的消除产生了良好的作用.

3. 挖掘潜能

挖掘学生潜藏的智能是数学教学，也是数学习题教学的一项重要目标，而处理填空题在这方面有着奇特的作用. 填空题之“小”使学生认识到必须在短时间内用巧妙的方法获解，而不必去大动干戈. 学生在紧急关头往往会爆发出超常的智能，“急中生智”也就成了现实.

例7 设集合A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝，若从集合A到集合B的映射f 满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），则这样的映射有_______个.

在课堂上，教师问：大家见过此题吗？学生答：没有！教师说：从未见过而能当场解出，我们追求的就是这种即时效果.

在这种良性的刺激下，经过一番紧张而亢奋的思考，不少学生取得了突破：将集合A的5个元素“分配”给集合B的3个元素，也就好比将1，2，3，4，5五个数装到标号分别为“6，7，8”的三个筐中，每个筐可装0到5个数，那么也就相当于将数5分成三个非负整数的和，于是问题转化为求方程x+y+z=5非负整数解的组数.再将方程变为（x+1）+（y+1）+（z+1）=8，则又转化为求方程s+t+r=8的正整数解的组数. 那么在一排8个1形成的7个空挡中任意插入两快隔板，则有C=21种插法，故这样的映射有21个.

没有用到高深的知识和高难度的技巧，却饱含智慧的营养，留下的是深深的启迪和无穷的回味.

4. 查漏补缺

经过一段时间的学习，学生的“双基”应该说比较牢固了，但百密一疏，总会有些薄弱或遗漏之处. 通晓学生的学情，选用恰当的填空题来查漏补缺是良策.

例8?摇 等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若=a1+a200，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S200=______.

一般学生给出如下解答：设=λ，则－=λ（－），得=（1－λ）+λ，所以a1+a200=1，因此S200=100.

不能说这种方法不好，但囿于严密的推理，对于填空题来说不是上策，果然有学生用到如下的“绝招”：作出图3，在平行四边形AOCD中，=+，则=+，完全符合题意，那么a1=a200=，故S200=100.

图3

“特殊化”的思想方法是解答某些填空题的妙法，应该为此鼓掌叫好！

再如，“求取值范围”的问题往往是数学试卷的“制高点”，学生的能力不可能一步到位，更需要不断地强化.

例9 若函数y=log2x的定义域为［a，b］，值域为［0，2］，则区间［a，b］的长度b-a的取值范围是________.

图4是函数y=log2x的图象，直线l：y=2与图象的交点分别为，2与（4，2），则当定义域为，1时能保证值域为［0，2］；当≤x≤4时，也能保证值域为［0，2］，所以a-b的最小值为1－=，a-b的最大值为4－=，故所求范围是，. 没有什么复杂的计算，凭借的是利用图形展开灵活的思维活动.

图4

5. “小题大做”

解答填空题最忌讳的就是“小题大做”.但利用适当契机，将小题提升为大题，既用灵活机智的方法解决了小题，又顺势用严谨周密的推理过程解答了大题.当然这就不是普通意义上的“小题大做”了，而是一举多得的大好事！

例10 对于正整数n，设抛物线y2=2（2n+1）x，过点P（2n，0）任作直线l交抛物线于An，Bn两点，则数列的前n项和为________.

教师提醒说：这是一道填空题，大家切勿“小题大做”哦！学生果然得到十分简捷的解法.

设直线l：x=2n，代入抛物线方程，易得A，B坐标分别为（2n，），（2n，－），则•=4n2－4n（2n+1）= －4n（n+1），=－2n，则前n项和为－n（n+1）.

正当学生为自然流畅地征服这道貌似繁难的问题而兴奋不已时，教师出其不意地说：现在将此题“提拔”为大题：

求数列的前n项和，如何解答呢？

小题的成功解答增强了信心，已获得的结果指明了方向，上述过程又是解答大题不可缺少的一步，基于此，学生很快给出如下的解答：

（1）当直线lx轴时， l：x=2n，…；

（2）当直线与x轴不垂直时，设l：y=k（x-2n）（k≠0），代入抛物线方程得k2x2-2（2nk2+2n+1）x+4n2k2=0.

设An（x1，y1），Bn（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=4n2.

又y1y2=k2（x1-2n）（x2-2n），所以•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2-2nk2（x1+x2）+4n2k2=（1+k2）4n2－2nk2•+4n2k2=－4n（n+1），下略.

虽然这里的计算稍繁一些，但在（1）的结果的鼓舞下，学生信心倍增，化得与（1）相同的结果当不属难事.

将小题提升为大题，还可取得以下的教学效益：

其一，避免学生将全部的注意力集中于填空题，兼顾了解答题这个“重拳”，通过征服解答题取得理想的成绩.

其二，填空题的成功解答为攻克大题奠定了基础，降低解答难度.

其三，通过大题的解答培养学生完整规范、一丝不苟的表述.

其四，在解小题、解大题中训练学生的智慧和勇气，培养坚韧不拔的意志品质.

其五，训练“双基”，为解答数学题打下扎实的根基.

夯实基础，不迷航向；大小兼顾，当仁不让；智商情商，相得益彰；登顶远眺，无限风光.