经济数学模型的构建及对库存问题的解决

[摘 要] 文章介绍了在经济领域中进行数学建模的重要性,探讨了数学经济建模的基本步骤,并把该理论应用到经济流通领域的重要问题库存上,通过建立数学建模加以解释说明。

[关键词] 经济 数学模型 基本步骤 库存问题

一、经济数学建模及其重要性

数学经济建模就是为了经济目的,用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。

二、建立经济数学模型的基本步骤

总的说来数学经济建模大致可以分为三个阶段;1.从现实经济世界进入数学世界;2.在数学世界中活动――对数学模型进行研究;3.从数学世界回到现实经济世界。具体建立模型的基本步骤:(1)模型准备。首先要深入了解实际经济问题以及与问题有关的背景知识,对现实经济现象及原始背景进行细致观察和周密调查,以获取大量的数据资料,并对数据进行加工分析、分组整理。(2)模型假设。通过假设把实际经济问题简化,明确模型中诸多的影响因素,并从中抽象最本质的东西。即抓住主要因素,忽略次要因素,从而得到原始问题的一个简化了的理想化的自然模型。(3)模型建立。在假设的基础上,根据已经掌握的经济信息,利用适当的数学工具来刻画变量之间的数学关系,把理想化的自然模型表述成为一个数学研究的题材――经济数学模型。(4)模型求解。使用已知的数学知识和观测数据,利用相关数学原理和方法,求出所建模型中各参数的估计值。(5)模型分析。求出模型的解后,对解的意义进行分析、讨论,根据实际经济问题的原始背景,用理想化的自然模型的术语对所得到的解进行解释和说明。(6)模型检验。把模型的分析结果与经济问题的实际情况进行比较,以考察模型是否符合问题实际,以此来验证模型的准确性、合理性和实用性。如果模型与问题实际偏差较大,则须调整修改。

三、经济模型举例――库存问题

库存或存贮在生产系统,商业系统,乃至各个系统中都是一个重要的问题。需求可由库存的输出来供应和满足,库存也要由输入来维持和补充,库存起到调节供应与需求,生产与销售之间不协调的作用。我们的问题是库存数量为多少时最适宜。控制存货数量的目的是把存货总费用降低到最小。

下面我们以一道例题考虑两种不同的经济模型

例:某厂生产摄影机,年产量1000台,每台成本800元,每一季度每台摄影机的库存费是成本的5%;工厂分批生产,每批生产准备费为5000元;市场对产品一致需求,不许缺货,产品整批存入仓库。试确定经济批量及一年最小存货总费用。

模型一:考虑成批到货,不允许短缺的库存模型

所谓成批到货,不允许短缺,就是每批产品或每次订购的货物整批存入仓库,由仓库均匀提取(因需求是一致的)投放市场,当前一批库存提取完后,下一批货物立即补足。

由于在一个计划期内需求量是固定的,在这计划期内,如果每批投产或每次订购数量多,自然库存量多,自然库存量多,因而库存费多;但是,这时因投产或订购数少,因此生产准备费或订购费少。如果每批投产或每次订购量少,库存费减少,但因投产或订购次数多,自然,生产准备费或订购费增多。在这两种费用一多一少的矛盾情况下,我们的问题是,如何确定每批投产或每次订购的数量,即选择最有批量以使这两项费用之和为最小。

进行如下假设:

D:一个计划期内的需求数量,即生产或订货的总量;C1:一个计划期内每件产品所付库存费;C2:每批生产准备费或每次订购费;Q:每批投产或每次订货的数量,即批量;E:一个计划期内存货总费用,即生产准备费或订购费与库存费之和。

存货总费用E与每批数量Q的函数关系为:

现存的问题是:决策变量Q,使目标函数取极小值。

由极值存在的必要条件:或(1)

由上式解得(只取正值)(2)

由极值的充分条件:

所以,当批量时,总费用最小,其值:即 (3)

这就得到了求最优批量及最小总费用的一般表达式(2)和(3)。

由上述理论可作解答:由题设知,D=1000台,C2=5000元,每年每台库存费:C1=800×5%×4=160(元)

存货总费用E与每批生产台数Q的函数关系:

有条件可得,经济批量

一年最小存货总费用

模型二:陆续到货,不允许短缺的模型

陆续到货,就是每批投产或每次订购的数量Q,不是整批到货,立即补足库存,而是从库存为零时起,经过一段时间才能全部到货。因为生产准备费或订购费与“成批到货,不许短缺”库存模型一样,因此,存货总费用E与每批数量Q的函数关系,即目标函数是

为决策变量Q,由极值的必要条件和充分条件,容易算得,经济批量

这时,库存总费用的最小值

最优批量Q*的表达式(6)也可由下式得到:

针对上述例题条件不变,再加入一条件:产品陆续存入仓库,每月到货200台,试确定经济批量和最佳费用。

解:已知条件是:

则可得经济批量为327.3台,这时最佳费用为30550元。

数学经济建模应用非常广泛,为决策者提供参考依据并对许多部门的具体工作进行指导,尤其是对未来可以预测和估计,对促进科学技术和经济的蓬勃发展起了很大的推动作用。

参考文献:

叶其孝:大学生数学建模竞赛辅导教材[M].长沙:湖南教育出版社,1997