基于MATLAB的常微分方程教学方法的研究

【前言】基于MATLAB的常微分方程教学方法的研究由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天等领域都有着广泛的应用{1}。科学技术和工程中大量的问题都表达为常微分方程的形式，特别是描述系统的动态演变时，如机械振动、数学摆、人口模...

摘 要：文章主要介绍了如何利用MATLAB进行常微分方程教学方法改革和应用，如利用MATLAB来描绘常微分方程的线素场求解曲线、利用MATLAB描绘常微分方程积分曲线族的包络等，最后对在常微分方程教学中如何使用MATLAB提高学生学习动力做了结论。

关键词：常微分方程 MATLAB 线素场 包络

中图分类号：O175.1

文献标识码：A

文章编号：1004-4914（2013）01-152-02

微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天等领域都有着广泛的应用{1}。科学技术和工程中大量的问题都表达为常微分方程的形式，特别是描述系统的动态演变时，如机械振动、数学摆、人口模型、人造卫星轨道方程、化学反应过程等都表达为以时间t为独立变量的常微分方程或方程组，所以常微分方程在科学技术领域非常重要。

传统的常微分方程的教学方式主要是“粉笔+黑板”的灌堂式教学，往往偏重于理论学习，给出各种方程（方程组）的解法，以计算为主，而对于抽象的方程的解对应的积分曲线和积分曲线族，以及一些与几何联系紧密的概念如线素场、包络等是学生不容易直观想象的，致使学生很难理解这些相关概念。

MATLAB语言起源于矩阵运算，是由美国的Cleve Moler博士于1980年提出的并已经发展成一种高度集成的计算机语言{2}。在数值计算、微分方程与模拟仿真等领域MATLAB语言具有其他软件无法替代的优势。在常微分方程教学过程中引进MATLAB软件辅助教学，以培养学生使用Matlab直观演示微分方程的相关概念，增强学生想象力、激发学习兴趣。兴趣是学习的原动力，有了兴趣，学习才有动力，教学过程才有生机，进而达到理论的升华{3}。

一、常微分方程教学改革的实施与探索

常微分方程课程理论性强，对学生的数学能力要求较高，学生学起来不容易入门。因此在教学改革探索中应该注意如何利用MATLAB使理论学习与计算机演示完整统一起来。课堂是学生学习知识的第一要素，常微分方程课堂学习主要是学习算法、求解方法，加强课堂基础教学，并以此作为实施教学方法改革的重点尤为重要。首先要让学生了解常微分方程对本专业后续课程的重要性，引起学生对该课程的重视，学生对一门课程的重视程度会直接影响其对该课程的学习精力的投入{4}。进一步通过介绍微分方程在科学技术广泛应用特别是微分方程建模的重要性使之进一步提高对课程的学习兴趣。学生在学习微分方程的过程中，可以先通过理论方法求出微分方程的解析解，然后利用MATLAB语言的计算速度快、准确性高等特点求出微分方程的数值解并进行比较，通过发现解析解和数值解吻合得很好，从而提高了学生自己动手分析、设计算法的能力。所以，在授课过程中，将基本概念和原理给学生讲解透彻的同时又可以充分利用MATLAB将抽象问题具体化，在相关章节的理论课上完就安排对应的上机实验。MATLAB教学平台的引入，首先将计算机辅助分析与设计得到简化，例如为了分析微分方程解曲线，而在黑板上画出该曲线又很困难，采用MATLAB语言只需简单指令立即就可以得到微分方程的解曲线，学生就可以直观分析该解曲线，达到事半功倍的作用。以往的教学，由于受条件所限，一般只能分析简单的二阶系统，而利用MATLAB，就可以对高阶系统进行分析研究。因而MATLAB的引入不但使学生有了应用计算机的条件和兴趣，帮助学生建立正确的专业思想，而且使学生对常微分方程的解有了较为感性的认识，更促进了学生学习与独立思考的积极性，同时也激发了学习本门课程的热情。由于MATLAB语言的先进性，颇受学生的喜爱，更增强了教师在实验设计上的灵活性与实验指导工作中的多样性。

二、利用MATLAB和几何法理解微分方程的线素场

微分方程最初是从物理和几何中的问题引出的，从物理和几何直观的角度来理解微分方程的解可以使我们对所讨论的问题有一个简单而鲜明的形象。很多微分方程的解析解并不能直接表达出来，数值解只能得到一些离散点处的近似值。如果我们想知道积分曲线的走向，大致形状等，光凭学生的想象力是很难的，而通过MATLAB将方程的线素场描述出来，积分曲线就很容易看出来了，直观、易懂。

四、结论

传统教学模式的弊端，往往使学生感到学习困难，教学效果不理想，MATLAB教学的引入，能够化繁为简，化抽象为具体，加深学生对本课程的掌握程度。利用MATLAB能将常微分方程用多方式、多途径来求解，从而拓宽学生的解题思路，并为后继课程打下基础，在此基础上进行的教学改革可以提高整体教学质量。身为教师需要树立终身学习的理念，在知识的创新实践中改革教学方法、教学手段，提升自己的教学魅力，才能适应时代要求，培养学生的创新精神和解决问题的综合能力。

[本文为黑龙江科技学院教学研究项目（98）-基于matlab的信计专业数学类课程群教学改革的研究与探索]

注释：

{1}朱春蓉，郑群珍.Maple在常微分方程教学中的应用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2009（3）

{2}何双.MATLAB在常微分方程初值问题的应用[J].长春师范学院学报（自然科学版），2005（3）

{3}刘卫国.MATLAB程序设计教程（第二版）[M].中国水利水电出版社，2010

{4}V. I. Arnold， Ordinary Differential Equations[M]， MITPress， Princeton， 1973.

（作者单位：黑龙江科技学院计算机学院 黑龙江哈尔滨 150027）

（责编：吕尚）