细究单调性定义,挖掘其内在魅力

摘要：函数单调性是高中数学的重中之重，也是历年高考的必考知识点，因此我结合人教A版数学必修一的函数部分知识对函数单调性的定义应用作出一些粗浅的认识。

关键词：函数；单调性定义及应用

函数是描述事物运动变化规律的模型，了解函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律。单调性作为函数的第一大性质，对它的认识和理解，直接影响着对函数的学习和应用。

新课标（A）对单调性的完整定义为：

一般地，设函数的定义域为：

如果对于定义域内某个区间上任意两个自变量的值，，当时，都有（或者），那么就说函数在区间是增函数（或者减函数）。

如果函数在区间上是增函数或者是减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间。

在严格遵守单调性定义的前提条件下，我们不难发现其中包含着典型的“二推一”关系：如果将“”设为命题①；“（或者）”设为命题②；“函数在区间是增函数（或者减函数）”设为命题③的话，那么单调性的定义就是“①②③”同时也是证明函数单调性的重要手段之一 。而事实上在实际应用过程中还会发现他的两个衍生结论；（1） “①③②”主要用于利用函数单调性比较大小；（2）“②③①”主要用于利用函数单调性退去函数的对应法则，解不等式以确定自变量或者参数的取值范围。

一、“①②③”模式是推导函数单调性的完美体现，也是确定函数单调性不可或缺的手段之一。

例1、已知函数，试确定其单调性。

解：的定义域为

设任意，，且

且

在上为增函数。

利用“①②③”模式确定函数单调性需要注意以下几点：（1）假设时，要体现，的任意性，有定义，分大小三个方面；（2）变形为最终判断符号服务，该过程常采用因式分解、配方、分子（分母）有理化等方式以便形成简式乘积或者比值的形式进而确定符号。当然有时也会遇到暂时不能断号的情况，这时需要选择新界点，对已知区间或定义域再分割，重新讨论。

二、“①③②”模式主要体现为利用函数单调性，比较函数值的大小。

例2、已知函数在区间上是减函数，是比较与的大小关系。

分析：此题看似比较函数值的大小，实则比较自变量的大小

解：

又在上是减函数

三、“②③①”模式是高考中比较典型的针对函数单调性的考查方式，主要体现为自变量或者参数的取值范围。

例3、已知函数，则满足不等式的的取值范围是______。

解：

由可得

例4、已知函数在定义域上是减函数，且，求的取值范围。

解：由题意可得：，即

此类题目的突破口为退去不等式中的对应法则，而去“”最重要也是唯一的手段就是利用函数单调性“②③①”模式进行求解，同时也应当注意函数定义域的限制。

函数的单调性是函数重要的性质之一，也是解决函数问题的重要手段之一。这其中深刻理解单调性的定义并能拓展应用尤为突出。