剖析数学中的恒成立问题

摘 要：恒成立问题是数学中的常见问题，新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考查，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法。解答这类题目主要有以下几种方法:其一,改变主元，利用一次函数的性质；其二，利用二次函数的性质；其三，利用韦达定理及根与系数的分布知识；其四，利用函数的最值（或值域），分离参数法；其五，利用图象，数形结合。

关键词：恒成立 函数 图象 最值 数形结合

恒成立问题是数学中的常见问题，新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考查，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，由于这类问题涉及的知识面广，要求有较高的解题技巧，具有一定的综合性,在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

解决数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①改变主元，利用一次函数的性质；②利用二次函数的性质；③利用韦达定理及根与系数的分布知识；④利用函数的最值（或值域），分离参数法；⑤利用图象，数形结合。下面简单地谈一谈恒成立问题的常见类型及其解题策略。

一、 改变主元，利用一次函数的性质

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

综上所述，可得 。

四、利用函数的最值（或值域），分离参数法

利用分离参数法来确定不等式 ,（ , 为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:

（1） 将参数与变量分离，即化为 （或）

恒成立的形式；

（2） 求 在 上的最大（或最小）值；

（3） 解 不等式(或

) ，得 的取值范围。

适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。

所求a的取值范围为

五、 利用图象，数形结合

若把等式或不等式合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果,尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例8 当x(1,2)时，不等式(x-1)2

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。

解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。

故loga2>1,a>1,1

例9 已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。

分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得 x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。

解：令y1= x2+20x=（x+10）2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示，

y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，

而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则

直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)

当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时

纵截距为-6a-3=160,a=

当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=

a的范围为[ ， ）。

上述例子剖析了数学中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”。