巧用割补法求阴影部分面积

九年级上册学完扇形的面积公式后，细心的同学一定会发现，与扇形有关的练习题常常以“与圆有关的求解阴影部分面积”的形式出现.这类题目看起来复杂，其实只要掌握好解题技巧，就能化繁为简. 下面通过几个例子详细介绍解决这类题目最常用的割补法.

类型一：分割法

例1 如图1所示的阴影部分，其形状称为“弓形”，其面积为所对扇形与三角形面积之差.即：S阴影=S扇形AOB-SAOB

【拓展练习】

练习1 如图2所示，求阴影部分面积.

【分析】阴影部分实际上是两个弓形，其面积可表示为半圆面积减去直角三角形的面积.

解：S阴影=S半圆-S三角形=[12]π×52-6×8×[12]=12.5π-24

练习2 如图3，正方形ABCD的边长为a，以顶点B，D为圆心，以边长a为半径分别画弧，求在正方形内两弧所围成的图形的面积.

【分析】连接AC，将这阴影的图形，分割转化为两个相同的弓形求解。

解：S阴影=2（S扇形ADC-SADC）=2（[90πa2360-12][a2]）=[12πa2]-[a2]

练习3 如图4，正方形的边长为2a，以各边为直径在正方形内分别作半圆，求四弧所围成的阴影部分图形的面积.

【分析】方法一，可以将整个图形分割成4个练习2中的图形，然后按照练习2中的解题方法求解，解答略. 方法二，这个图形是正方形内4个半圆互相重叠，阴影部分刚好是正方形对角线在4个半圆中切出的8个弓形之和，因此阴影部分面积可表示为4个半圆面积减4个等腰直角三角形面积，而这4个等腰直角三角形面积之和正是该正方形的面积. 解答如下：

解：S阴影=4S半圆-S正方形=4×[12]π[a2]-4[a2]=（2π-4）[a2]

类型二：拼补法.此类题目一般是将几个图形进行拼、接补全后，形成较规则的图形，再解答.

例2 （1）如图5，A，B，C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为多少？

（2）若在题（1）的条件下，增加一个圆，变成如图6所示图形，设这四个圆的半径都是r，则这四个圆中阴影部分面积之和为多少？

（3）若在题（1）的条件下，有n个这样的半径都是r的圆，如图7所示，那么这n个圆中阴影部分的面积之和又为多少呢？请说明理由.

【分析】这些扇形所在圆的半径均相同，但是各自圆心角度数不确定，但当我们将其拼接后，会发现图5中圆心角的度数之和就是ABC的内角和，这样就可以化零为整，将阴影部分整合成一个图形求解. 问题（2）和问题（3）都可以按照此方法求解，只是阴影部分拼接成的图形圆心角度数变成了多边形的内角和.

解：（1）[S阴影=180π×0.52360=0.125π]

（2）[S阴影=360πr2360=πr2]

（3）[S阴影=180（n-2）πr2360=（n-2）πr22]

【拓展练习】

练习4 如图8，在RtABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆A，B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为多少？

【分析】由于这两个扇形半径相等，且∠A+∠B=90°，可以将这两个扇形拼接在一起形成一个圆心角为90°的扇形.

类型三：等积变形法，又可以分为平移法、对称法、等底同高法几类.

例3 平移法.

如图9，两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且弦AB与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积为多少？

【分析】在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆平移至两个半圆共圆心，位置如图10所示.

例4 对称法.

如图11，PA，PB是半径为1的O的两条切线，点A，B分别为切点，∠APB=60°，OP与弦AB交于点C，与O交于点D. 求阴影部分的面积（结果保留π）.

【分析】ACO与BCO关于直线OP对称，可将BCO换为ACO，即可将阴影部分合为一个扇形.

[解：PA，PB是半径为1的O的两条切线，点A，B分别为切点PA=PB且OAPA，∠APO=12∠APB=12×60°=30°又OA=OBOP垂直平分AB. 即ABOC，AC=BC又OC=OCBCO≌ACO（SAS）SACO=SΔBCO，即S阴影=S扇形AOD在RtAPO中∠AOP=90°-30°=60°S阴影=60π×12360=16π]

例5 等底同高法.

如图12所示，正方形ABCD内接于O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积的比例为多少？

【分析】阴影部分图形不规则，需要将其进行图形变换，拼接在一起. 如图13，连接OD，OC，根据图形的轴对称性和等底等高的三角形的面积相等，易知阴影部分的面积即为扇形OCD的面积，再根据正方形的四个顶点是圆的四等分点，即可求解.

用割补法求阴影部分面积，其核心的数学思想就是化归思想，即，将我们不熟悉的、不规则的图形，通过割补的方式转化为我们常见的、熟悉的、规则的图形来求解.下次再碰到这样的题目，同学们应该能轻松解决.