巧用三角形中线解决面积问题

【中图分类号】 G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0145-01

三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。每个三角形有三条中线，且每条中线都平分该三角形的面积。利用三角形中线的这一性质，可为我们解决面积问题带来便利，下面就以两个题目为例进行说明。

例1、如图1，、是矩形的边和延长线上的两点，与相交于点，且。

求证：。

分析：根据题目条件，不难得到≌,由此，学生在思考本题时，往往均过点作，垂足为,则将中的的面积转换成四边形的面积，接下来只需再证明的面积与四边形的面积相等即可。但到此时，却无法再继续下去。其实，当说明≌后，则有点为中点，则可考虑利用三角形中线来解决该问题。

证明：连接(图2)

矩形

，

≌

即为中点

，

即

又

本题即是证明到为中点，搭建ADP 为中间桥梁，将APQ与矩形联系起来，利用三角形中线平分三角形面积的性质，及三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半，说明这两个图形间面积的相等关系。

例2、如图3，正方形中，为对角线ED上一点，且BE=BC。连接CE，将CDE绕点C逆时针旋转90°，得到CBF。连接EF，交BC于点G，H为EF的中点，连接CH。求证：。

分析：求证两个三角形面积相等，有时可用转换的思想，即让这两个三角形加上一个相同部分，得到两个新的图形，再证明这两个新图形面积相等。本题要证明，即转换成证明。而与有公共底边，则只需证明它们等高即可。根据旋转的性质可知≌，进而可得和均为直角三角形。又因为斜边的中点，常见辅助线为构造斜边上的中线，得到线段或面积间的关系。

证明：连接(图4)

旋转

≌

为直角三角形

，

为等腰直角三角形

为的中点

，

∥

由上面两题可见，若题目要解决图形的面积问题，而条件中直接或间接给出了三角形某边上的中点，往往可通过连接构造三角形的中线，得到与面积相关的结论。若三角形是直角三角形，还可通过构造中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得到与线段、角度相关的结论。