合情联想 创新运用 开心启智

如果说数学知识和数学思想方法是数学的核心，那么，知识与思想方法背后所蕴藏的学生创新能力和实际运用能力的培养则是数学教学孜孜以求的目标。鉴于此，我的数学课堂教学追求的是“唤醒主体意识，引导联想方法，培养创新能力”。缘于年龄特点，对于小学生而言，我认为培养学生的创新能力主要依赖于由此及彼、由表及里式的合情联想，从而增强学生洞悉日常生活问题中数学元素或复杂数学问题中简单原型的能力，真正达到在过程中、实践中培养学生创新能力的目的。试想，如果我们的各科教学、各阶段教育都一路给力，定能培养出社会所需要的杰出人才。

下面，列举我课堂上的四个教学案例，与大家分享学生的发现之旅。

案例一：联想生活经验，巧解趣题

问题：大小两个正方形拼成图1，大正方形ABCD的边长是6cm。连接EC与AD相交于点H，并且HD=2cm。请问小正方形EFDG的面积是多少？

[C][F][G][H][D][E][A][B][C][F][D][E][2][6][2][6][H][6]

图1 图2

发现之旅：显然，要求小正方形的面积，就必须知道小正方形的边长，怎么办呢？现在我们不妨将三角形EFC暂时从整体中移出来，变成图2来单独研究。静下心来，仔细观察，是不是产生联想：EF和HD好比两棵笔直的“树”，阳光照射下来，它们顶端的影子同时落在C点，FC和DC不就正好分别是它们的影子吗？从图2中，我们可以很直接地知道HD这棵小树的影子正好是它自己高度的6÷2=3（倍）。联想我们的日常生活经验，同一时间、同一地点，树的高度与它的影子成正比例，即树EF的影子FC的长也应该是自己高度EF长的3倍，很明显FD=EF，因此很容易得出DC=2EF，而DC=6cm，所以小正方形的边长EF=6÷2=3（cm）。

现在，可以很轻松地求出小正方形EFDG的面积是32=9（cm2）。

案例二：联想学习经历，巧解趣题

问题：等腰梯形ABCD的对角线AC长20cm，并且∠ACB=45°（如图3）。这个梯形的面积是多少？

[C][C][D][A][B][D][E][A][B] [45°] [45°]

图3 图4

发现之旅：一般来说，求梯形的面积，要知道它的上、下底和高，但此题这些一概不知，怎么办？可别忽视图3中有一个重要的条件，即∠ACB=45°。现在让我们联想以前推导平行四边形面积公式时的做法，先从A点向梯形下底作垂线AE（如图4），再将ABE切割后旋转移至右边（如图5），拼成的是长方形还是正方形呢？分析一下，AEC其中的一个锐角∠ACE=45°，另一个锐角∠CAE也应是45°，所以它是个等腰直角三角形，因此AE=EC。显然，拼成的四边形AECB是一个正方形。这时问题又出来了，AC并不是拼成的正方形的边长，而是它的对角线的长度。再次联想我们以前的学习经历，知道正方形对角线的长度，如何求它的面积呢？就是将正方形用两条对角线均分成四个等腰直角三角形（如图6），每个等腰直角三角形的面积就是（20÷2）2÷2=50（cm2）。

由此，正方形的面积，也就是原来梯形的面积是50×4=200（cm2）。

[C][D][A][B][E][45°] [C][A][B][E][10][10]

图5 图6

案例三：联想具体数字，巧解趣题

问题：长方形ABCD被分为面积相等的四个部分（如图7），如果AB∶BH=3∶2，请问DF∶FC=？

[C][G][A][B][D][E][F] [H]

图7

发现之旅：此题无任何一条线段的具体长度，推理起来显然比较麻烦。根据条件AB∶BH=3∶2，我们不妨大胆地将其联想为特例，即AB=3cm、BH=2cm，这样图7中四个部分的面积都是3×2=6（cm2）。现在可以进一步推理：长方形ABCD的面积是6×4=24（cm2），宽BC=24÷3=8（cm），HC=8-2=6（cm）；三角形CEF中CF=6×2÷6=2（cm）；小长方形GEFD中DF=6÷6=1（cm）。至此，可以清楚地得到DF∶FC=1∶2。

（试想：如果将AB和BH分别看作9cm与6cm，结果还会一样吗？）

案例四：联想平面镜子，巧解趣题

问题：欢欢是幸福村里有名的“敬老小明星”和“数学智多星”，他每天都要从自家（图8中A处）出发去村里的“长寿泉”边打上一担清洁的水送到孤寡老人李爷爷家（图8中B处）。你能画出聪明的欢欢每次所走的最短路线吗？ [A][A′][B][C′][C] [B][A][C]

图8 图9

发现之旅：两点之间线段最短，连接AB不是最短的送水路线吗？显然不是，因为这样没能取到水。欢欢是先垂直地走到C处取水后，再径直送到李爷爷家，走ACCB（如图8）的路线是最短吗？这里有疑问，因为走的是“两条线”。那么，欢欢到底能不能做到取水、送水走的是同一条线路呢？这看上去好像不可能，因为欢欢的家不在泉的对岸。现在我们就很自然地能联想到生活中的镜子（如图9）：将长寿泉当作一面镜子，先将欢欢的家“照”到对岸的A′处，即AC=A′C。现在欢欢的家在A′处，连接A′B，与泉岸相交于点C′。欢欢走的路线就是A′C′C′B，正好是一条线段，当然也就是最短的送水路线了。从图9中也可以明显地得出在三角形A′BC中，A′B

现在，我们可以轻松地画出欢欢所走的最短路线就是从AC′B（如图10）。

[B] [C′][C][A][A′]

图10