对小学数学思想的局部认识与教学的初步尝试

【摘要】 数学思想对于学习数学，今后的工作生活，都有极其重要的影响，但哪些数学思想适合于我的学生？我该怎样将一些数学思想融入我们的课堂？为此，本文对作者所做的一些探索与尝试，进行了阐述。

【关键词】数学思想;尝试

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1001-4128（2010）10-0093-02

有人说：“学生们在学校里所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，这些作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。 然而，不管他们从事什么工作，惟有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时地发生作用，使他们受益终身。”听到这样的话，看到这样的文字，很能激起大家的共鸣。作为一位数学教师，我能在这方面做些什么呢？

古往今来，数学思想不计其数，每一种数学思想都闪烁着人类智慧的火花。哪些数学思想适合于我的学生？我该怎样将一些数学思想融入我们的课堂？为此，做了一些探索与尝试。

1 对小学数学思想的局部认识

1.1 “单位”思想

数学中，不管是“数”还是“量”的计算都得益于“单位”思想。重视渗透“1”是自然数的单位的思想。可以说，没有“1”就没有自然数，就没有整个的数学体系。所以，从一年级开始，我就十分注重对学生进行“单位”思想的渗透。

1.2 符号思想

数学符号在数学中占有相当重要的地位。英国著名哲学家、数学家罗素也说过，什么是数学？数学就是符号加逻辑。十六世纪数学家韦达对数学符号作了很多改进，并且第一个有意识地系统地用字母表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学研究的重大拓展，奠定了符号代数的基础，后来大数学家笛卡儿对韦达使用的字母又作了改进。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。

1.3 方程和函数思想

在已知数与未知数之间建立一个等式，把生活语言“翻译”成代数语言的过程就是方程思想。笛卡儿曾设想将所有的问题归为数学问题，再把数学问题转化成方程问题，即通过问题中的已知量和未知量之间的数学关系，运用数学的符号语言转化为方程（组），这就是方程思想的由来。

在小学阶段，学生在解应用题时仍停留在小学算术的方法上，一时还不能接受方程思想，因为在算求解题时，只允许具体的已知数参加运算，算术的结果就是要求未知数的解，在算术解题过程中最大的弱点是未知数不允许作为运算对象，这也是算术的致命伤。而在代数中未知数和已知数一样有权参加运算，用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边，而是和已知数一样，接受和执行各种运算，可以从等式的一边移到另一边，使已知与未知之间的数学关系十分清晰，在小学中高年级数学教学中，若不渗透这种方程思想，学生的数学水平就很难提高。例如稍复杂的分数、百分数应用题、行程问题、还原问题等，用代数方法即假设未知数来解答比较简便，因为用字母x表示数后，要求的未知数和已知数处于平等的地位，数量关系就更加明显，因而更容易思考，更容易找到解题思路。数学思想本质地辨证地反映了数量关系的变化规律，是近代数学发生和发展的重要基础。在小学数学教材的练习中有如下形式：

7 ×4＝30×5＝ 600×700＝

70×4＝ 30×50＝ 60×700＝

700×4＝ 30×500＝6 ×700＝

有些老师，让学生计算完毕，答案正确就满足了。有经验的老师却这样来设计教学：先计算，后核对答案，接着让学生观察所填答案有什么特点（找规律），答案的变化是怎样引起的？然后再出现下面两组题：

45×6＝ 1500÷300＝

15×6＝ 1500÷30＝

5×6＝1500÷3＝

通过对比，让学生体会“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”，结论可由学生用自己的话讲出来，只求体会，不求死记硬背。研究和分析具体问题中变量之间关系一般用解析式的形式来表示，这时可以把解析式理解成方程，通过对方程的研究去分析函数问题。中学阶段这方面的内容较多，有正反比例函数，一次函数，二次函数，幂指对函数，三角函数等等，小学虽不多，但也有，如在分数应用题中十分常见，一个具体的数量对应于一个抽象的分率，找出数量和分率的对应恰是解题之关键；在应用题中也常见，如行程问题，客车的速度与所行时间对应于客车所行的路程，而货车的速度与所行时间对应于货车所行的路程；再如一元方程x＋a＝b等等。 学好这些函数是继续深造所必需的；构造函数，需要思维的飞跃；利用函数思想，不但能达到解题的要求，而且思路也较清晰，解法巧妙，引人入胜。

1.4 数形结合思想

“数”与”形”是同一事物的两个方面，“数”是“形”的高度抽象，“形”是“数”的具体体现，“数”与“形”可以互相转化。数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来。即通过作一些如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。

1.5 类比思想

数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。就迁移过程来分，有些类比十分明显、直接、比较简单，如由加法交换律a＋b＝b＋a的学习迁移到乘法分配律a×b=b×a的学习；而有些类比需在建立抽象分析的基础上才能实现，比较复杂。

目前，小学数学教材中类比思想的内容很多，杂志上发表得较多的某些定理，问题的延伸，推论，拓广也是类比思想的反映，这就要求教师去发掘去实施，如长方形的面积公式为长×宽＝a×b，通过类比，三角形的面积公式也可以理解为长（底）×宽（高）÷2＝a×b（h）÷2。类似的，圆柱体体积公式为底面积×高，那么锥体的体积可以理解为底面积×高÷ 。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力，正如数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。”

2 对小学数学思想教学的初步尝试

2.1 寻求途径，渗透数学思想方法

数学的思想方法是数学中最本质、最惊彩、最具有数学价值的东西，在教材中除一些基本的思想和方法外，其它的数学思想和方法都呈隐蔽式，需要教师在数学教学中探索选择适当的途径进行渗透。

①在知识的形成过程中渗透:对数学而言，知识的形成过程实际上也是数学思想和方法的发生过程。大纲明确提出：“数学教学，不仅需要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。”这一思维过程就是思想方法。传授学生以数学思想，教给学生以数学方法，既是大纲的要求，也是走出题海的需要。因此必须把握教学过程中进行数学思想和方法渗透的契机。如概念的形成过程，结论的推导过程等，都是向学生渗透数学思想和方法，训练思维，培养能力的极好机会。

②在问题的解决过程中渗透：数学的思想和方法存在于问题的解决过程中，数学问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导。数学的思想和方法在解决数学问题的过程中占有举足轻重的地位。教学大纲明确指出：“要加强对解题的正确指导，要引导学生从解题的思想和方法上作必要的概括”，这就是新教材的新思想。

③在复习小结中渗透：小结和复习是数学教学的重要环节，而应试教育下的数学小结和复习课常常是陷入无边的题海，使得师生在枯燥的题海中进行着过量而机械的习题训练，其结果是精疲力尽，茫然四顾，收获甚少。如何提高小结、复习课的效果呢？我们的做法是：遵循数学大纲的要求。紧扣教材的知识结构，及时渗透相关的数学思想和数学方法。在数学思想的科学指导下，灵活运用数学方法，突破题海战的模式，优化小结、复习课的教学。在章节小结、复习的数学教学中，我们注意从纵横两个方面，总结复习数学思想与方法，使师生都能体验到领悟数学思想，运用数学方法，提高训练效果，减轻师生负担，走出题海误区的轻松愉悦之感。

2.2 寻找载体，把握时机：数学数学方法的渗透是以数学知识为载体，在学生学习过程中悄悄地得以完成的。离开基础知识的教学，数学思想方法渗透就会变成无源之水。同时关于数学思想方法的教学，教师还要注意把握时机，适时渗透，这样才能既发展学生的数学思维，又不加重学生的学习负担。就小学数学来说，在形成概念、导出结论、寻找方法、揭示规律的过程中，随时都可捕捉到渗透数学思想方法的有效时机。

2.3 注重训练，提高学生数学素质

①数学方法的训练:数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易。因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照各年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。

②转化能力的训练:转化思想是数学的基本思想之一，是一种十分重要的教与学的策略。常见的转化思维方法有量的转化、式的转化、类比转化等，考虑到数学的研究对象：数与形，在教学中有意识地对学生进行数形转化能力的训练就显得尤其重要。所谓数形转化观是把数、形问题从一种表示形态转化成另一种表示形态或数形相互转化的思想和方法。从这一表述可以看出，数形转化有数的转化、形的转化和数与形的相互转化三种具体形态。数的转化要通过恒等变形，借助数的分解、变换数的位置或对数进行重新调整组合以及利用相关关系等方式进行。如，０．２５根据需要可转化为２５％，可以转化为１４，还可以转化为１∶４。又如，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。此题若按常规解法，不但计算繁琐，而且因π取近似值，存在计算误差。若把它看成是一个以内外圆周长为上、下底，以２厘米为高的梯形，即利用“把曲线看作直线的思想”，其计算量不但减少，而且提高了答题的准确率。

③探究能力的训练:心理学家布鲁纳指出，探究是数学教学的生命线。重视学生探究能力的训练，要求我们要注重教学活动的过程教学。正如西南师大数学系杨泰良教授所言：“教学上要求揭示的数学活动过程主要是方法论意义上的和逻辑意义上的，这更符合数学知识结构和学生认识结构……数学活动过程的教学有利于启迪和发展学生的思维，所以应是数学方法的核心。”

通过有意识的进行数学思想的教学，取得了一定的成效，学生的数学素质有所提高。但我对数学思想教学的认识仍不够完善，很肤浅，需要不断探索、不断完善、不断创新。

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