基于Stribeck摩擦模型的PID控制

摘要摩擦现象是一种较为复杂的、非线性的、且不稳定的自然现象，目前人类对于摩擦这种物理过程的了解还只停留在定性认识阶段，没办法通过数学方法给出摩擦过程的精确描述。stribeck摩擦模型是低速控制伺服系统摩擦力以及高精度伺服系统的位置控制的主要控制形式，具有较大的普遍性。本文论述的飞行器模拟转台控制对飞行器模拟转台数学建模，并根据模型设计控制器，在数学模型的基础上进行了PID控制的理论分析。利用MATLAB中的Simulink仿真工具对飞行器模拟转台进行仿真分析，在仿真中整定出合理的PID控制参数，在建立系统模型的基础上，讨论飞行器模拟转台的控制器方案，并在SIMULINK环境下进行了计算机仿真；最后对Stribeck摩擦模型的PID控制进行了总结。

【关键词】Stribeck摩擦模型 建模 PID控制仿真

1 引言

在现实活动中，摩擦现象几乎是无处不在的。在某些情况下，摩擦环节又是人们所希望的，比如汽车的刹车系统，但对于多数的机械伺服系统而言，摩擦环节却是人们对提高系统性能的障碍，摩擦环节会使系统出现爬行、振荡甚至稳态误差实际应用中的伺服控制系统，通常会遇到以下问题：在对机器人、机床、天文望远镜和无线电天线的伺服系统的速度和位置控制时，不可避免会产生有静摩擦力、粘性摩擦力以及动摩擦力。执行机构的饱和也会对其产生影响。

为了减少伺服系统中的摩擦环节所带来的负面影响，人们通过大量的实践活动总结出许多有效的方法，这些方法可大致归为三类：

（1）改变机械伺服系统的结构设计，减小传动环节；

（2）选择更好的剂，减少静、动摩擦的差值；

（3）采用恰当的控制补偿方法，对摩擦力矩进行补偿。

当系统中的摩擦误差在被控过程的输入及输出特性的线性范围内，可以设计出适当的PID控制器，用来满足期许的性能指标。然而实际上，当伺服系统的运行速度很慢时常常会出现爬行和自激振动，电机在低速或变向运动时，其输入/输出特性曲线上出现死区，这些对于有高跟踪精度和运动平稳性要求的运动控制系统来说，仅仅采用传统的PID控制器就难以达到我们所期望的控制精度，所以必须通过对系统的摩擦进行补偿来提高系统的控制精度。实际应用中最常用摩擦模型对系统进行摩擦补偿。这种方法是将一个控制作用在已知摩擦模型的基础上，施加到系统上，用于抵消每一无限小的瞬时的摩擦力矩，从而消除各种摩擦力对于系统动、静性能的影响。

随着科技的日益进步，科学家们提出了数十种摩擦模型，其中以Stribeck较为著名。1902年,Stribeck发现一种现象，在克服摩擦力之后，摩擦力不是连续下降，而是随速度的增加而减少（在低速时），呈现出速度的连续函数，这种现象叫做负斜率摩擦现象。这种种类的摩擦力就叫做Stribeck效应，它可用于描述摩擦力在低速区的行为，在相对滑动组度较小的范围内，随着相对速度的增加，反而摩擦力下降。1982年，Bo和Pavelescu等科学家提出了一个数学模型来表示Stribeck效应，进而为研究Stribeck效应提供了有力的基础。

2 PID控制器

PID控制为建立在经典控制理论的基础上的一种控制策略，由于其算法简便，可靠性高，参数具有明确物理意义，在工业过程中被广泛应用且具有良好的控制效果在工业生产工程中具有广泛应用。

PID控制器广泛应用的原因有：

首先，即使还有很多工业过程是非线性或时变的，但是可以简化通过可以变成基本不随时间变化的系统，这样就可以用PID控制了。

其次，PID参数比较容易整定。也就是说，过程的动态特性的及时整定可以决定PID参数 Kp，Ki和Kd。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID参数就可以重新整定。

第三，PID控制器在实践中也不断的得到改进，因为在工厂，总是可以看到许多用手操作的回路，因为很难让这种工作过程平稳工作在自动状态下。由于这些原因，采用PID的工业控制系统总是受产品质量、安全、产量和能源浪费等问题的困扰。PID参数自整定就是为了处理PID参数整定这个问题而产生的。现在，自动整定或自身整定的PID控制器已是商业单回路控制器和分散控制系统的一个标准。

2.1 模拟PID控制基本原理

比例P，积分I以及微分D构成了一个PID控制器，它是在偏差控制基础上形成的一种线性控制器，其偏差是由实际输出值和给定值构成的，即

e(t)=r(t)−y(t)(2.1)

其中，r(t)为给定值，y(t) 为系统的实际输出值。

比例（P）、积分（I）以及微分（D）通过线性组合构成控制量，控制被控对象，由此形成了PID控制。

u(t)=Kp+u0(2.2)

其传递函数形式为：

G(s)=+Kp (2.3)

式中，Kp：比例系数，TD：微分常数， Tl：积分常数， u0：控制常量。

2.2 PID参数整定

参数整定是实际应用中的核心问题，因此系统的控制品质受其直接影响。它是由于控制过程的性能特点来准确PID控制器的系数、时间和微分时间的大小。改变PID控制器的系数的途径很多，总结起来有两大类：一是理论计算整定法。它最主要是根据系统的数学模型，通过实际计算来确定控制器的系数。此种方法所检验的计算结果不一定可以直接应用，也就是要通过生活实践进行调节和更改。二是工程整定方法，它主要根据生活实践，直接在控制系统的试验中进行，在生活实践中被广泛应用。PID控制器参数的工程整定方法，主要有经验数据法、试凑法和扩充临界比例度法。这些方法都有很多自己的优点，都是通过试验，然后按照生活实践的公式对控制器参数进行调整。但不管使用哪一种方法所得到的控制器参数，都需要在生活实践中进行最后改变与优化。

3 Stribeck摩擦模型的PID控制建模仿真

3.1 引言

Stribeck曲线是较为著名的摩擦模型。如图3-1所示，改图表示在不同阶段的摩擦，摩擦力矩与速度之间的关系，这种关系就是Stribeck曲线。

Stribeck摩擦模型可用以下公式来表示：

当时，静摩擦力为：

(3-1)

当时，动摩擦力为：

（3-2）

其中，F(t)为驱动力， Fm为最大静摩擦力， Fc为库伦摩擦力，Kv为粘性摩擦力矩的比例系数，α，α1为一个无穷小的正常数。

3.2 Matlab介绍

MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。而Simulink是MATLAB最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。Simulink具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。 Simulink与一般工具箱不同的另一个优点是它不给出任何新的函数。对用户来说，Simulink中所用的仍然是MATLAB的语法，MATLAB原有的函数在Simulink中仍然有效。因此，读者如果有MATLAB的基础，除了要学一下图形界面的使用方法之外，不需要再学新的语法，马上就会应用。这也显示了其对用户的友好性。

Simulink作为面向框图的仿真软件，具有以下的功能：

（1）用方框图的绘制代替程序的编写。构成任何一个系统框图有三个步骤，即选定典型环节、相互联接和给定环节参数。这三步可以在一个图形界面上用鼠标和键盘来完成。

（2）仿真的建立和运行是智能化的。首先，画好了框图并存起来，它就自动建立起了仿真的方程；其次，在运行时用户可以不给步长，只给出要求的仿真精度，软件会自动选择能保证给定箱度的最大步长，使得在给定的精度要求下系统仿真具有最快的速度。

（3）输入输出信号来源形式的多样化。其输入信号可以是各种信号发生器；也可以来自一个设定的记录文件；还可以来自MATLAB的工作空间(workspace)。输出信号也类似，这就扩大了仿真系统与各种外部软件和硬件的接口能力。

在MATLAB的命令窗口中键入指令“Simulink”。

我们可以从界面中看到，Simulink有下列内容：

（1）Source：提供信号源元件。

（2）Sink：提供输出设备元件。

（3）Discrete：提供离散型元件。

（4）Continuous：提供线性系统之元件(指连续性)。

（5）Nonlinear：提供非线性元件。

（6）Signal & Systems：提供用于输入输出及控制使用的信号以及相关的处理。

（7）Function & Tables：特定的功能函数。

（8）Math：数学运算功能。

3.3 一个典型伺服系统描述

本文以三轴飞行模拟转台伺服系统为例，它可以在正常情况下简化为一个线性二阶环节的系统，当低速运行时具有比较大的摩擦现象，此时的控制对象为非线性，用传统控制方法达到高精度控制具有较大难度。

根据伺服系统的结构，其飞行模拟转台位置状态方程可以用以下式子表达：

（3-3）

采用M语言仿真：

假设伺服系统无摩擦，即取M=0，此时采用PD控制，速度和位置跟踪结果如图3-3和图3-4所示。仿真结果表明，无摩擦时，采用PID控制方法具有较好的控制效果。当M=1时为带有摩擦环节的PID控制，仿真结果表明在带有摩擦条件下，位置跟踪存在“平顶”现象，速度跟踪存在“死区”现象。采用PID控制鲁棒性差，不能达到高精度跟踪。

Simulink控制主程序仿真框图，如图3-5所示。

3.4 本章小结

本节控制策略中闭环控制器为常规的PID，其优点是控制参数易于实验调定，而不足之处是当输入信号的幅值或频域在较大范围变化时，要调定不同的PID控制参数，但就摩擦补偿而言，基于Stribeck模型的电压补偿为直接、高效的摩擦补偿提供了途径。

4 结论

本文对Stribeck曲线进行数学建模，当系统在高速段运行Stribeck摩擦模型时，粘滞摩擦力矩与速度成正比，是速度的线性函数；当系统在低速段运行时，摩擦力随着速度的增加，静摩擦力渐渐以指数形式下降为库伦摩擦力。

综上分析，采用常规PID控制器建立Stribeck曲线模型，通过MATLAB的仿真结果显示具有对飞行器模拟转台良好的控制，使伺服系统能达到稳定。可见PID控制在建立Stribeck摩擦模型是一种行之有效又简便易行的控制方法。MATLAB用于控制系统的建模和仿真分析是非常成功有用的。PID控制器具有结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便等优点。MATLAB的Simulink仿真分析，其输入方式采用图形输入的方式，只要知道其信号流程图之后，要进行分析就显得非常简单。

尽管目前针对PID控制已有很多思想和方法，但是还存在很多更先进的算法，提高转速控制精度的同时提高控制性能等问题需要解决，如系统精度、复杂性和可靠性之间的矛盾以及可实现性等。概括起来，今后针对系统的低速控制主要的研究方向为：

（1） 应用更先进的算法，提高PID控制精度的同时提高控制性能。

（2）增强系统的抗噪声干扰和参数变化的鲁棒性。

（3）降低系统复杂性，提高系统的实时性。

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作者单位

东北林业大学机电工程学院黑龙江省哈尔滨市150040