有媒体影响的H7N9禽流感病毒模型的稳定性分析

摘 要：本文建立了具有媒体影响的H7N9型禽流感模型，研究了媒体报道对禽流感传播的影响。定义了模型的基本再生数，利用V函数及极限方程理论等方法对模型进行了动力学性态的分析。证明了当基本再生数小于R01时，地方病平衡点全局渐近稳定。

关键词：禽流感模型；V函数；全局稳定性

1 引言

近年来，禽流感病毒逐渐被大家所熟识，主要原因是病毒逐渐变异为可被人类感染的亚型，威胁人类的健康.因此禽流感已被世卫组织认定为对人类具有潜在威胁的疾病之一.

2013年3月，中国政府报告上海和安徽发现3例人感染新型甲型H7N9禽流感病毒的病例。之后的五个月里，这种病毒在我国多个省市迅速蔓延，感染和死亡人数不断增加。截止6月30日，全国共报告确诊病例132例，死亡43人。之后疫情有所缓解，但7月河北省又出现一例确诊病例，10月浙江省再次出现两例确诊病例。由于H7N9禽流感病毒是一种此前从未发现过的新型禽流感病毒，并无疫苗可用。在禽类中流行并无明显症状，加大了对禽类监控的难度。但还没有确切证据证明可在人与人之间传播。由于现在信息技术的飞速发展，人们可以通过报纸，电视，网络等媒体获取多方面的信息，这对于传染病传播方面的影响是非常大的。一方面通过现代媒体，一部分人加强了预防措施或采取了更有效的措施，避免了感染，另一方面，因为现代媒体的覆盖已经很广，一旦有疫情发生，一部分人会根据报道通过减少出行等行为减少与感染者的接触，从而达到降低感染率的目的。

数学模型已经成为分析研究传染病传播与控制的一个重要工具，关于媒体报道对传染病传播的研究也有了一些研究结果.在以往的文献中从同一群体考虑传染病传播规律的文章有很多[1]。关于禽流感疫情传播模型的研究，早期重心主要在人类身上。研究了假设未来禽流感成为大范围流行病对人类的潜在影响，并对可能减缓它传播的策略进行了分析。然而对于自然界中的物种来说，种群并不是单独存在的，为更好的探讨疾病的流行规律及分析其流行的关键因素，研究讨论禽流感的跨物种传播，对于我们对禽流感特性的了解和防控措施都有着重要意义。然而现实生活中，随着人们对禽流感认识的加深。对于禽流感已经有了一些防控措施，单纯的只考虑疾病传播而不考虑外界干扰对禽流感病毒传播的影响显然是不现实的。而随着信息技术的普及，媒体对我们生活的影响也越来越重要，为了使我们的研究更加符合现实生活，应考虑对具有媒体影响的禽流感模型进行进一步研究[3-7]。文献[3]建立了H7N9禽流感模型，并讨论了媒体报道对模型的影响，得到了模型的全局性态分析.文献[5]建立了一个受媒体影响且具有分段感染率的传染病模型.文献[11]引入函数e-mI来研究媒体影响因子，建立了SEI模型，并讨论了模型的动力学性态.文献[12]讨论一个受接种疫苗和媒体报道影响的SEIR模型，得到决定疾病是否爆发的阈值.本文在文献[2]的基础上考虑媒体影响对禽流感传播的影响进行了研究。

2 模型的建立

我们将根据禽流感传播的规律，将人类分为易感者Sh1，易感者Sh2，染病者Ih，移出者Rh，禽类分为易感禽Sb，染病禽Ib，其中两类易感者的区分是由于媒体影响改变了一些易感者的行为，使其染病几率减小，模型如下：

其中，βh是易感者Sh1的传染率， 是易感者Sh2的传染率，θ是Sh2至Sh1的转化率，μh是人类的自然死亡率，ω是易感者Sh1至易感者Sh2的转化率，α是易感者Sh2的感染影响率，μb是禽类的自然死亡率，γh是感染者的恢复率，αh是感染者的因病死亡率，αb是染病禽的因病死亡率.

引理1 集合 系统（1）的正向不变集.

证明 由模型（1）中关于Sh1，Sh2，Ih的三个方程相加得

故引理得证.下面将在不变集中讨论系统（1）的解的性态.

3 模型的分析

3.1 禽类系统平衡点的存在性及稳定性

对于前两个方程

所以当R0>1时，模型有无病平衡点和地方病平衡点，得证.

定理2 对于系统（2），当R01时，系统（2）的无病平衡点E0是不稳定的鞍点.

证明 系统（2）在无病平衡点E0处的Jacobian矩阵为：

矩阵I（E0）的特征方程为：

其特征根为：

显然λ1>0，当R0

即特征方程的两个根均为负，可知E0是局部渐近稳定的.

当R0>1时， ，特征根一正一负，那么E0是不稳定的鞍点.

构造Lyapunov函数V1=0，当R0

则E0是全局渐近稳定的.

定理3 当R0>1时，系统（2）的地方病平衡点 是全局渐近稳定的.

证明 因为禽类总数Nb=Sb+Ib，则有

Nb=Sb+Ib

于是系统等价为

（3）

正平衡点为 ，其中

构造Lyapunov函数

其导函数为

故由LaSalle不变性原理可以知道， 是全局渐近稳定的，则其等价系统的正平衡点E*也是全局渐近稳定的.

3.2 人类系统平衡点的存在性及稳定性

下面讨论人类系统，考虑系统的后三个方程

系统（1）的子系统：

易知当R0>1时，该子系统的地方病平衡点全局渐近稳定.

即

我们定义

这样就有两种截然不同的情况，当爆发一种新的疾病时，并没有合适的防护措施，我们就可以令 ，则基本再生数就变为

另一种情况是假设当种群数量可以达到无病平衡点，可以定义