复数的几何意义

中图分类号：G623.5

理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。利用复数的几何意义，可使两点间的距离公式、常见的曲线方程及某些平面区域有简明的表达形式，为使用复数解几何问题方便，复数运算的几何意义实现了数与形的结合。体现在：

1、通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。

2、通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。

3、提高学生数形结合能力；培养对应与运动变化的观点。

例题（1）实数m分别取什么数值时，复数z=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i，（1）对应点在x轴上方；（2）对应点在直线x+y+5=0上.

解析（1）由m2-2m-15>0，

得m5，

即当m5时，z的对应点在x轴上方.

（2）由（m2+5m+6）+（m2-2m-15）+5=0，

得m=-3-414或m=-3+414，

即当m=-3-414或m=-3+414时，z的对应点在直线x+y+5=0上.

例题（2）已知z1、z2∈C ，且 ，

若 ，则 的最大值是（ ）

（A）6 （B）5 （C）4 （D）3

解法1：

的最大值是4

解法2： ，

，即

表示以原点为圆心，以1为半径的圆；

表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。

的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。

例题（3）若复数z满足条件 ，

求 的最值。

解法1：（数形结合法）由 可知，z对应于单位圆上的点Z；

表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。

由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时， ，此时z=i；

当点Z运动到B（0，-1）点时， ， 此时z=-i。

解法2：（不等式法）

，

解法3：（代数法）设 ，则

，即

当 ，即 时， ；

当 ，即 时， =3，

解法4：（性质法）

，即

当 ，即 时，

当 ，即 时，

例题（4）复数z1=1+2i，z2=-2+i，z3=-1-2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

分析一：

利用 ，求点D的对应复数.

解法一：

设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi（x，y∈R），是：

=（x+yi）-（1+2i）=（x-1）+（y-2）i；

=（-1-2i）-（-2+i）=1-3i.

，即（x-1）+（y-2）i=1-3i，

解得

故点D对应的复数为2-i.

分析二：

利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解.

解法二：

因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是（-2+i）+

（x+yi）=0

x=2，y=-1.

故点D对应的复数为2-i.