复数概念的意义与重难点分析例谈

摘要：学生对复数的理解是教学中的难点，不同版本的教材中引入复数的可能会使学生误认为复数是由一元二次方程产生的。从数学的发展历程阐明复数的起源，明确复数的意义，有利于学生认识复数、理解复数。

关键词：复数；负数平方根；虚数

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671―0568（2013）27―0092-03

历史相似性理论指出：数学概念的历史发展过程与学生对数学概念的认知过程存在一定的相似性。数学史在很大程度上被认为是重要数学思想的演变记录，学生在学习中出现的困惑往往与数学发展史出现的困惑相一致。历史上数学思想方法的突破点是数学历史发展的重大转折，也是学生学习的难点。从数学史的角度来看，虚数被人接纳经历了至少500年。M.克莱因认为：历史上大数学家在作出某些创造时遇到的困难或所犯的错误，课堂上的学生也必会重新经历。因此，学生也不可能马上接受虚数或复数。近年来，复数在考纲要求的降低，使复数在高考数学试题中所占的比例逐年下降，而且主要以选择题或填空题的形式出现。复数在高考数学中所占的比例小了，教师对其重视程度也有所降低，在教学中也主要以复数的运算为重点，忽略了对复数概念的深入解释。数学概念的学习，应强调概念的形成背景、重视其知识发生、发展的来龙去脉，而本文将重点阐述复数的产生过程。

一、学习复数概念的困难分析

在引入虚数单位i的概念后，有学生可能会提出i在现实中可表示实际意义的问题。有教师认为在原有的实数系基础上建构复数系，抽象i的引入总是让学生在认知过程中感到困惑和无奈。由于复数概念比较抽象，脱离实际生活，复数的产生和前几次的数系扩充中新产生的数的概念不同。例如，为了计数的需要产生了自然数，为了测量一个事物整体的部分的需要产生了分数，为了解决度量正方形对角线的问题产生了无理数，而每次的扩充都有实际的意义。复数的产生严格意义上不是直接来源于实际，是从数学理论的内部矛盾中导出的。前面的学习方法不能迁移到复数的学习中，以及复数内容本身的抽象性，这给学生的学习带来了一定的困难。

复数是怎样产生的？查看不同版本的教材，发现教材中复数通常都是这样引入的：为了使一元二次方程x2+1=0有解，保证运算可以实施，引进一个使方程有解的数――虚数。而求解方程x2+1=0和进行开方运算，都只是为虚数的产生提供可能性，即可以由它们引出虚数，而没有提供必然性，即一定要引出虚数。从几何的角度来看，根本不存在面积为-1的正方形，而且在初中的学习中，说它是没有意义的，不做研究。教材中复数的引入可能会使学生觉得意外。而且教材以x2+1=0这样的一元二次方程在实数集中无解为例引入虚数，这容易使人误解，学生有可能认为就是这样发明虚数的。事实上，16世纪之前人们遇到二次方程如果没有实根，就说它没有解，根本不去研究这种没有实际意义的所谓解答。而从数学发展史来看，一元三次方程的求解才是虚数产生的真正动力，弄清复数的起源更有助于更好地理解复数。

二、复数概念的起源

1.负数平方根的发现。在1897年的美国科学促进协会上，密歇根大学的数学教授贝曼（Wooster Woodruff Beman）在演讲中指出，负数的平方根首先出现在亚历山大城的海伦的《立体测量学》中，海伦在解决具有正方形下底的棱锥的平截头台的体积问题时，如图1，先给出了一个正确的公式V=■（a2+ab+b2）（1），h=■（2），海伦根据公式成功地用于下底边长为10、上底边长为2、棱长为9的情况。而后，又试图解决下底边长为28、上底边长为4、棱长为15的问题。

令a=28，b=4，c=15，代入公式（2）得h=■ =■ =■=■，结果应该为■，但是海伦用h=■代替。因此，海伦错过了成为最早在对一个具体问题进行数学分析时导出负数的平方根的著名学者的机会。

在丢番图（Diophantus）所著的《算术》中，可以发现负数的平方根。《算术》的第6卷第22题是这样的：直角三角形ABC的面积为7，周长为12，求它的边长。我们可以设两直角边为x1，x2，根据已知条件可以得到x1・x2 =14，x1+x2 +■=12（3），为了利用减少变元，令x1=■，x2=14x，代入周长的等式（3）中并化简整理可得84x2 -43x+6=0，解得x=■。当时丢番图认为负根是不可接受的，每当遇到负根或虚根的方程，认为这种方程是不可解的。直到15世纪末，法国数学家舒开（Chuquet）在《算术三编》中指出二次方程4+x2 =3x的根x=■±■。因为根号下的数为负数2■-4，由此他作出结论此根是不能成立的。负数的平方根很早就被人们发现了，但是却一直被人们拒绝。虽然在求解二次方程过程中，能多次碰到负数开平方的问题，但都未能及时引出虚数。

2.虚数的产生。二次方程的问题基本完成后，数学家开始研究三次方程的。1494年帕乔利（Luca Pacioli）在他的著作《算术、几何、比例和比例性质集成》最后提出了一个大胆的断言：“解三次方程就像化圆为方一样，以目前的科学水平是不可能的”。1500年左右，数学家费罗（Ferror）解出了x3+mx2=n类型的三次方程，但他并没有发表他的解法。另一数学家塔尔塔利亚（Tartaglia）解出了x3+mx2=n类型的方程。其解法也就是我们现在所谓的卡尔丹公式。由于各种原因，卡尔丹（Cardan）最先发表了三次方程的解法，解三次方程的基本思想是将三次方程的求解转化为二次方程。卡尔丹在解决x3+mx=n（其中m，n是正数）这种类型的三次方程时，首先引入t，u两个量，并令t-u=n（4）， tu=（■）3（5），利用（4）和（5）进行消元得到t2-nt+■=0，解得t=■+■，进而可以得到u=■-■，他断言x=■-■，即x=■-■，卡尔丹那时只取正根。但是对于这种类型的三次方程，由卡尔丹公式知x=■-■（6）。如果（■）2-（■）3

（5+■）（5-■）

=5×5-5×■+5×■-■×■

=25-（-15）

=40

虽然卡尔丹第一次在数学中公开引进了负数的平方根---虚数，并对其进行了运算，而且还解决了一个有趣的问题。卡尔丹并没有给虚数的产生提供充足的论据。但是卡尔丹疑惑即三次方程只有一个实数解时，这种负数平方根将出现在卡尔丹公式中。而这引领着数学家走进虚数。

卡尔丹的追随者、意大利数学家邦贝利（Bombelli）解释了卡尔丹公式的真正机制。在他1572年出版的《代数学》中提出了三次方程x3=15x+4，即相当于m= -15，n=4，（■）2+（■）3

三、一点思考

复数的概念是富有现代数学意义的重要内容。复数的学习会使学生对数的认识有一定的整体了解，但是复数的意义不仅仅限于此，复数的学习展示了数学扩充过程中所蕴含的真善美，感悟有与无、可能与不可能之间的辨证关系。前后学习的不一致，复数的抽象与虚幻，这让学生难以接受复数。但如果教师处理方式得当，会激发学生学习的兴趣，复数的学习也会让学生感受到数学的神奇。例如，有教师从学生认识数的过程引入复数，小学一年级问你1个苹果两个人分，每人分多少，你不知道怎么回答，等你学习了分数后，你就会知道；小学六年级让你解方程x+2=1，你不知道该怎么解，等你学习了负数后，你就会知道；学习无理数后，知道x2=2，会得到x=±■，那么怎么解x2+1=0这个方程呢，学了今天的内容，你就会知道。在学习复数时，教师是否可以给学生提供复数的相关史料，从复数的发展脉络中让学生认识复数、接受复数、更好地学习复数，学习数学家探索真知的精神和勇气。

值得一提的是，复数对以后的学习和工作中发挥着一定的作用。复数理论使代数方程论成为一个完美的理论。代数基本原理是整个数学中最重要的定理之一。它断言，n次代数方程有n个根。没有复数的诞生，就没有代数基本定理。法国数学家阿达玛说：“实域中两个真理之间的最短路程是通过复域”。例如，计算积分、证明代数基本定理，研究多项式根的分布等都要借助复数。除此之外，复数在电学、流体力学、弹性力学等领域都有重要作用。

参考文献：

[1]朱求长.关于复数产生之说[J].数学的实践与认识，1981，（7）：78-81.

[2]保罗.J.纳欣.虚数的故事[M].上海：上海教育出版设，2008.

[3]张顺燕.数学的源与流[M].北京：高等教育出版社，2000.