一场思维的“探险”

其实，对于《用数对确定位置》一课，诸老师完全可以有更安全的教学路径：明确列与行，告知相应的顺序与方向，继而引导学生掌握用数对确定位置的方法。然而，她放弃了，且选择了一条远比上述路径更开放、更充满挑战、拥有更多不确定性的教学路径。然而，就是在这样一条磕磕绊绊的学习道路上，我们跟随学生的脚步，经历了一场思维的“探险”。或许，这一路走来，真的不那么轻松。然而，当我们最终到达目的地，回首走过的路，会发现，原来数学学习真的不只有阳光大道那一条路。

一、让问题开放，还原真实思维路径

明明是一种规定性内容，诸老师仍然不想放弃“让学生自我建构的尝试”，她认为，真正有价值、有意义的知识，一定是学生基于已有经验自主建构起来的。也只有自己建构起来的知识，哪怕不那么准确、不那么清晰，但一定是有温度，是烙上个人思维印记的，也是真正有意义的。于是，课始，我们便看到了诸老师极为开放的问题设计：“你能用简洁的方法准确地描述出树懒扮演者的位置吗？把你的想法记录下来。”正如诸老师所预期的那样，学生带着各自不同的经验上路，呈现出的思维结果也各有侧重。她没有回避任何一组学生的作品，甚至选择把它们原汁原味地呈现在黑板上，供大家观察思考。对于一个青年教师而言，这样选择是需要一定勇气的。面对这些并不“完美”的答案，诸老师选择了先求同后求异的两度比较：“仔细观察，这几个小组的表示方法有什么共同点？”这一问，一下子将学生的注意力从各不相同的结果中聚焦起来――貌似各不相同的答案都蕴含4和3这两个数！为什么都需要这两个数？这两个数分别表示什么意思？缺一个数行吗？求同的过程让学生意识到，无论哪一种方法，都离不开列数和行数。到此，数对虽未出现，但已是呼之欲出了。两个反例的呈现，又一次让学生的思维聚焦：明明是同一个人，为什么会出现不同的数？思维由此开始向纵深切入，方向问题在这样的求异比较中得到了彰显。至此，用数对确定位置的几大核心要素――列数、行数、顺序、方向等，都在学生观察、比较、交流、质疑不同作品的过程中得以一一建构。可以说，恰是开放的问题呈现，让学生沿着自己的经验与思维线索展开学习，而最终殊途同归。

二、让错误呈现，直面真实思维状态

学生在学习过程中必然会出现错误。如何面对错误，决定着一个教师的教学观与儿童观。在诸老师的课堂上，我们发现，面对错误，她不仅不回避、不担忧，甚至有时候，她还试图给学生创造出错的机会。面对真实的“教室环境”，究竟该如何确定学生的位置？对这样的问题，学生出现了激烈的争执。有人认为应该从自己的视角来看，也有人认为应该从老师的视角观察。事实上，这本是一句话的事情，教师提前规定并作出说明，争论便不复存在。然而，诸老师选择让学生真实的思维暴露出来。事实证明，正因如此，学生才有机会更真实地提出自己的困惑，并发表各自的见解，相应的认识难点就在针对错误的碰撞与交流中得以突破与化解。

三、让资源丰富，拓展学生思维视野

笛卡尔的故事是大家耳熟能详的课堂“标配”，大家通常都能想到。但是，“我们中国人是这么表示位置的，其他国家又是怎样表示的呢？”这一问，一下子激起了所有学生甚至听课教师的兴趣。不同国家不同表示方法的呈现，开阔了大家的视野。更重要的是，对不同国家不同表示方法的比较，让大家对“数对”有了一种超越性认识――原来，用两个数来确定平面上点的位置不是我国所独有；原来，数学内容还可以超越国界，成为全球人民的共识；原来，数学真的是一种国际语言，没有边界。丰富资源的拓展与呈现，效果大致就在这里了。

（作者系南京市北京东路小学副校长，江苏省数学特级教师）