例谈源于课本的中考题对教学的点滴启示

课后思考练习题是教材编委会针对篇章特点设置的知识要点、能力训练点和教学的重难点,是学生学习过程中落实基础、提升能力的前沿阵地，也是教师备课时的指南针.教材习题、例题、有着极大的典型性和代表性.纵观近几年各地中考试题，虽有不少创新和改革，但大部分的试题的原形还是取自课本，即使中考的“综合题”、“压轴题”等，其基本解题思路和方法也能在课本上找到它的影子.下面就以几道源自课本的2008年中考题为例，浅谈一下它对我们教学的一些启示

一、关注典型习题，注重“三基”考查

【课本习题】

如图1，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC，

垂足分别为E，F求证：EB=FC(北师大版九年级《数学》上册第34页第3题)

【中考试题】

考题1 (南宁市)如图2，在ABC中，D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别

是E、F，BE=CF.

(1)图中有几对全等三角形?请一一列出；

(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明．

点评：

本题的图形与课本习题完全相同，而且两题的基本思路是互逆的：证全等BE=CF，考查的知识点是角平分线的性质、全等的判定等，但本题结论开放，故解法多样，表现出较大的灵活性.

考题2 (安徽省)已知：点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC.

(1)如图3：若点O在BC上，求证：AB=AC；

(2)如图4，若点O在ABC的内部，求证：AB=AC；

(3)若点O在ABC的外部，AB=AC成立吗?请画图表示.

解析：(1)略；

(2)通过证RtBOF≌RtCOE得

∠FBO=∠ECO、OB=OC，

进而得∠OBC=∠OCB，

从而∠FBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB得AB=AC；

(3)不一定成立.因为当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC，

否则，AB≠AC．

点评：

这题是由练习题改编而成的中考压轴题，主要考查了全等的判定、等腰三角形的判定等知识.第(2)、(3)问是第(1)的引申和推广，由特殊到一般，考查了学生的探究力和逻辑推理能力.

【启示】

以上两题都基本源自课本同一题，所以学生有似曾相识的感觉，上手容易，但又有新意，能较好地考查学生知识应用的能力.这两道题给我们如下启示：

1.抓好“三基”教学

正确的解题思路源于基础知识、基本技能、基本思想方法的熟练掌握.在复习中，应梳理好基本概念、法则、公式、性质、公理、定理和常用的教学思想方法，注意挖掘和发挥课本中例题、习题的潜在功能，引导学生归纳，并达到熟练程度，对平时容易出错的地方应进行辨析确认，找到防范措施，做到准确无误.

2．抓好解题的规范书写

数学命题，逻辑性强，思维严谨，要求步步有根有据，逐层推进，书写规范，格式简明.所以要培养学生会用数学语言准确、简洁地表达自己的观点和思想，这样才能有效地提高数学成绩.

二、关注生活热点，注重学用结合能力的考查

【课本习题】

有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15．5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?(新人教版七年级《数学》下册第108页第5题)

【中考试题】

考题3 (长沙市）“5・12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷.某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区.若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶.

(1)每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶?

(2)工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感?

解析：

(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各 x、y 顶，则

x+2y=1052x+3y=178

解得 x=41，y=32.

(2)由3×(4×41+5×32)=972

可以从加班生产、改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．

点评：

本题是把全国关注的热点问题与“三基”要求有机结合起来的一道应用题，前两部分利用二元一次方程组计算、不等式判断等的思路与课本习题基本相同，但最后一个小问考查了学生生活经验的积累，让学生在“解决问题”的过程中，充分体会数学与社会生产的联系，了解数学的价值，增进对数学的理解.

【启示】

重视联系生活实际，加强对能力的考察是近年来各地中考数学试题的一大特点，重视实际应用不只是形式上增加了联系实际的试题，更重要的是试题本身通过创设贴近生活的情境，展示新型考题，考察学生综合运用知识来分析问题、解决问题的能力.因此，在平时的教学中要做到：

1．重视培养学生把实际问题转化成数学问题(数学建模)的能力.

引导学生学会从具体问题情境出发，建立模型，寻求结论，应用与推广.创设学生所熟悉的、感兴趣的问题情境，激发引导学生动手操作，积极思考，逐步发展应用意识，形成基本的实践应用能力.

2．引导学生关注生活中的数学.

三、关注思维能力，注重数学思想方法的考查

【课本习题】

1．(北师大版九年级《数学》下册第81页课题学习习题第1题)一座抛物线型拱桥的示意图如图5所示，相邻两支柱间的距离为10 m．

(1)在图中再作出两条弯曲程度不同的抛物线拱桥；

(2)你作的两条抛物线的顶点坐标分别是什么?抛物线的表达式分别是什么？

(3)计算你所设计的两个抛物线拱桥中每根支柱的长度，并把结果填入下表：

支柱顺序支柱长度抛物线表达式123456789

2.（北师大版九年级《数学》下册第63页习题2.8第1题）如图6，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线可以用 y=-14x2+4表示.

（1）一辆货运卡车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？

（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？

【中考试题】

考题4 （兰州市）一座拱桥的轮廊是抛物线型（如图7所示），拱高6 m，跨度20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图8所示），求抛物线的解析式；

（2）求支柱EF的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2 m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由.

解析：（1）如图9根据题目条件，A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6）.

设抛物线的解析式为

y=ax2+c，

将B，C的坐标代入 y=ax2+c，得6=c，0=100a+c.

解得 a=-350，c=6.

所以抛物线的表达式是 y=-350x2+6.

（2）可设F（5，yF），于是

yF=-350×52+6=4.5，

从而支柱EF的长度是

10-4.5=5.5米.

（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则G点坐标是（7，0）.

过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则

yH=-350×72+6≈3.06＞3.

根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

点评：这道题是由课本两道练习题整合改编而成的中考压轴题，第（1）、（2）问源自课本练习第1题，第（3）问源自课本练习第2题.本题综合了“方程思想”、“函数思想”、“化归思想”、“数型结合”的思想，又融合了“待定系数法”等数学方法，起点不高，但要求全面，使学业考试兼顾选拔的功能得以实现，是一道好题.

【启示】

现在各地中考数学试题有关数学思想方法的考查题目几乎便布全卷.试题中把数学思想方法与代数计算、几何论证和数学其它问题综合起来的题不少，因此教学中要：

1.加强数学思想方法的渗透.

数学基础知识和基本技能所反映出来的数学思想和方法是数学知识的精髓，在课堂教学中，数学思想方法的教学应渗透在教学全过程中，是学生不仅学好概念、定理、法则等内容，而且能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识.

2．突出思维能力的培养

中考试题要求学生能够灵活、准确地运用数学知识和数学思想方法分析问题和解决问题.所以能力培养应落实在平时教学过程中，要注重培养学生的“实验”、“探究”、“猜想”能力，因为数学不仅是思维科学，也是实验科学，数学推理不仅包括演绎推理、还包括合情的归纳推理.

教材是《课标》的载体，是课程目标和课程内容的具体化，是教和学的主要依据.因此近几年的中考数学试题大多来源于课本或从课本的基本要求出发加以拓宽、延伸和改造.其实利用课本典型习题编制中考试题，其目的是保证试题面向全体学生，减轻学生的学业负担，同时也体现了一种价值导向――重视教材的作用.所以在日常教学中，教师不要盲目甩开教材，滥用其他资料，而应该高度重视课本上的一些典型例题和他们的解法，即“通用方法”的教学，在此基础上，还要充分引申，挖掘其蕴涵的深层潜力，做到“一题多解”、“一题多变”、“多题一法”、融会贯通，这样学生才会得心应手、才能有效地提高数学成绩.

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