时间：2022-08-31 10:12:10
摘 要：本文对一道典型的不等式问题进行了深入讨论，得到它的7种解法、两种变式以及一种推广，展现了一题多解、一题多变在教学中的作用，有助于开拓学生的思路，训练学生的思维，提升学生的解题能力，开发学生的解题智慧.
关键词：不等式；多解；变式；推广
如果说探索一道题目的多种解法的目的在于开拓思路、训练思维、发展思维的广阔性，那么对问题的变式探究，则有利于培养学生的探究能力和创新意识.选择基础性强、解题方法典型、又能一题多解或一题多变的题目，引导学生从不同角度思考问题，进行多解探索，获取不同的解法，进行变式探究，使问题得以拓展延伸，从而使看似平淡的问题获得较好的教学效果.
题目 若不等式+≤a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的取值范围为________.
解法一：因为x，y>0，所以已知不等式可变为a≥. 又因为a>0，所以a2≥. 而x+y≥2，故≤=2，因此a2≥2，即a≥，实数a的取值范围为［，+∞）.
解法二：+≤a?圳a≥=. 由不等式对任意正实数x，y恒成立，得a≥max=. 当y=x时，实数a取最小值，故实数a的取值范围为［，+∞）.
解法三：因为y>0，所以已知不等式可化为+1≤a. 设=tanθ，θ∈0，，则tanθ+1≤a，即tanθ+1≤. 于是a≥sinθ+cosθ=sinθ+.
又因为sinθ+的最大值为1，此时θ=，所以a≥，即实数a的取值范围为［，+∞）.
解法四：因为x，y>0，所以已知不等式可变为a≥. 设u==+，而，∈（0，1），且2+2=1，故可设=sinα，=cosα，α∈0，，则u=sinα+cosα=sinα+≤，当α=时取等号. 因此，a≥，即实数a的取值范围为［，+∞）.
解法五：因为x，y>0，所以已知不等式可变为a≥，设u=，m=（，），n=（1，1），由m•n=m•ncosθ≤m•n，得+≤•，当m与n同向时取等号，可得u=≤，故a≥，即实数a的取值范围为［，+∞）.
解法六：令u=，=t（t>0），则u2=g（t）=2=.
g′（t）=，由t>0可得函数g（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减. 因此，gmax（t）=g（1）=2，故u2≤2，所以u≤，于是a≥，即实数a的取值范围为［，+∞）.
解法七：令u=，=p，=q（p>0，q>0），则u=. 于是u可以看成定点P（1，1）到动直线l：px+qy=0（p>0，q>0）的距离. 如图1，由几何性质可知定点P到动直线l的距离的最大值就是点P到原点的距离，为，所以u≤. 因此，a≥，即实数a的取值范围为［，+∞）.
变式一 ?摇若不等式+≤a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的取值范围为________.
解：因为x，y>0，所以已知不等式可变为a≥． 又a>0，所以a2≥，因x，y是任意正实数，所以2=2≤λx+（其中λ为正常数），故≤=． 现只要下列等式对任意正实数x，y都成立，（1+λ）x+1+y=k（2x+y），所以1+λ=21+，即λ=2，所以k=，故a2≥，即a≥，所以实数a的取值范围为，+∞．
变式二 若不等式+≤a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的取值范围为________.
同变式一的解法可以求得a≥==，所以实数a的取值范围为，+∞.
推广 若不等式+≤a（其中m，n为正常数）对任意正实数x，y恒成立，则实数a的取值范围为________.
解：同变式一，即a2≥，因2=2≤λx+（其中λ为正常数），故≤=，现只要n（1+λ）=m1+，即（nλ－m）（λ+1）=0，又λ>0，故λ=.
因此，=，所以a2≥，即a≥，所以实数a的取值范围为，+∞.
教学中要经常强化常规思路、常规方法， 不断培养学生的解题能力和解题的毅力、信心. 解决一个问题不能仅满足于得到结论，要善于对问题进行解法探究、变式探究，要注重一题多解、一题多变，要注重解题反思，要充分挖掘问题的本质、揭示问题的精髓. 正如罗增儒教授所言：我们以典型试题为载体研究解题，不仅仅是为了考试多得分、得高分. 在我们看来，包括解题反思在内的数学解题是数学学习中不可或缺的核心内容，数学解题的思维实质是发生数学，而不仅仅是“规则的简单重复”或“操作的生硬执行”，是数学学习中不可替代的实质活动. 解题活动的核心价值是掌握数学，解题是一种最贴近数学思维的实质性活动，是掌握数学、学会“数学地思维”的关键途径.