椭圆及其方程教学设计

一、教材分析

（一） 教材的地位和作用

椭圆是在学习了圆的基础上进一步学习的一种常见的圆锥曲线，在数学上是一个非常重要的几何模型，有很多非常好的几何性质.其内容是画法、定义、方程、性质，知识呈现形式也是按照这样一个顺序展开的，体现了学生的知识形成过程。

（二） 教学重点

椭圆的定义、方程是研究椭圆及其性质的基础，所以是本节的教学重点：从现实世界中的实物原型，寻找关键点，把握椭圆这个概念形成的过程，建立直角坐标系，导出椭圆的方程.

（三）教学难点

椭圆的标准方程是教学的难点，是数与形的有效的结合，如何建立直观图形与标准方程的对应关系对学生而言是存在理解的困难，几何图形的表示及几何语言的理解是教学的核心，也是教学的难点.

二、教学目标

依据课程知识结构，结合学生的年龄特点、知识结构和认知规律，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度确定了本节的教学目标如下：

（一） 知识与技能目标

1. 体会椭圆的画法.

2. 理解椭圆的定义.

3. 理解并掌握椭圆的方程.

（二） 过程与方法目标

让学生经历观察、猜想、尝试、交流、画图、归纳等活动过程，帮助学生积累数学活动的经验.建立数与形的对应观念，学会学习、学会探索，发展形象思维.

（三） 情感态度与价值观目标

1.通过数学活动初步认识数学与人类的密切联系与对人类历史的发展作用，激发学生的学习兴趣，感受数学活动充满着探索与发现，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

2.通过学习几何图形的表示方法及其几何语言，培养学生严谨的科学态度.

三、教法和学法

（一）教法

问题探究式教学，让教师和学生之间建立平等对话与交流的关系，使教师成为学生的合作者、引导者.

（二）学法

1. 让学生个人自主探索，独立思考，富有个性地学习.

2. 让学生与学生之间合作交流，互相促进，共同发展.

四、教学过程设计与分析

本课教学过程流程是：

创设情景、引入新课建立模型、探索新知初步运用、巩固理解深化练习、培养能力应用延伸、拓展思维归纳小结、整理反思

（一） 创设情景、引入新课

问题：

1.“椭圆”两字让你想到了什么？或者说椭圆与圆有什么关系（压扁的圆、拉长的圆）？

2.椭圆怎么画？圆可以圆规画，因为它是到定点的距离等于定长的点的集合，那么椭圆又会有什么性质呢？

（二） 建立模型、探索新知

1.动画演示：“压”圆成椭圆，圆心“弹开”，半径“分成”两条.

2.观察：椭圆的两条“半径”与圆的半径有什么关系（相等）？

3.猜想：这两条长短不同的“半径”与圆半径有什么关系（和为半径的两倍）？

4.画图：利用猜想（实质是椭圆的机械画法），或直接机械演示，也可用几何画板演示这一过程.

5.形成定义：由学生来概括椭圆的定义，教师根据其回答适当补充.

定义“我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.”

（说明：①可用椭圆演示模板向学生展示椭圆图形的画法；②要求学生注意常数要大于 F1F2的条件，同时让学生明确常数小于或等于F1F2时，轨迹为无轨迹或一条线段.）

6.解决问题：根据定义，求椭圆的方程.

建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合.

设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0），那么焦点F1、F2的坐标分别是（-c，0），（c，0）.

又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.

由椭圆定义，椭圆就是集合

P={M|MF1|+|MF2|=2a}

因为|MF1|=

|MF2|=

所以得： + =2a

整理得：（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

由椭圆的定义可知：2a>2c，即a>c，故a2-c2>0.

令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式整理得：

说明：其中具体整理步骤让学生自得

（三） 初步运用、巩固理解

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点 .

解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 .

2a=10， 2c=8

a=5， c=4

b2=a2-c2=52-42=9

所以所求椭圆的标准方程为 .

（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 .

由椭圆的定义知：

2a=

a= ，又c=2

b2=a2-c2=6

所以所求椭圆方程为

说明：例1（1）（2）要求学生熟练应用c2=a2-b2关系式求解椭圆标准方程.

（四） 应用延伸、拓展思维

1.思考：空间中到两定点的距离等于定长（两定点的距离小于定长）的点的轨迹是什么？（小组讨论）能猜想它的方程吗？

2.编写一个有关椭圆的小故事或找一个与椭圆有关的生活实例.

（五） 归纳小结、整理反思

1. 椭圆的定义

2. 椭圆的标准方程

3. 数形结合的数学思想和模型化思想

（六） 作业

习题8.1 1，3，4.

五、板书设计

六、教学设计反思

（一）本节课的主线与思路：

1.以学生活动为主线――让学生主动建构起新的认知结构

2.以学生参与为基础――让学生体验过程，获得情感

3.以学生获得知识，提升智能为目的――让学生形成良好的思维习惯

（二）本节课的优点：

1.直观引入.由圆为基础知识，抓住椭圆与圆的关系，直观、形象、生动.

2.椭圆的定义是学生自己通过观察、猜测、并画图检验的过程中概括出来的，而非教师给出的。