一道考题讲评的教学思考

广东东莞高级中学 523128

摘要：本文从评讲东莞市2007―2008学年度第二学期教学质量检查中高二文科数学的最后一道证明题入手，提出教师应勇于上好“回炉课”，重视有益的“意外”，营造良好的民主课堂气氛，妥善而有效地启发学生，使学生找到解决问题的漂亮证法.

关键词：回炉课；课堂实录；教学思考；有益的“意外”

1. 提出问题

在东莞市2007―2008学年度第二学期教学质量检查中，高二文科数学的最后一道题为

已知数集序列｛1｝，｛3，5｝，｛7，9，11｝，｛13，15，17，19｝，…其中第n个集合有n个元素，每一个集合都是连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数.

（1）求数集序列第n个集合中最大数an的表达式；

（2）设数集序列第n个集合中各数之和为Tn.

①求Tn的表达式；

②令f（n）=（n∈N*），求证：当n≥1，n∈N*时，总有

f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）

这是一道数列与不等式相结合的综合题. 上午考试刚结束，学生便反映最后一问的证明题较难. 考完试恰好又上数学课，于是学生们都催促我讲解最后一问. 由于下午才进行集中评卷，我也不知道学生解题的具体状况，于是便将惯用的解法写了出来.

证明（2）前面已求得an=n2+n－1；Tn=n3.

于是f（n）=，当n≥2时，有

所以++++…+

讲解时，我特别强调，

－与

2.课堂实录

下午集中评卷时，我负责评审此题，结果发现真正用我讲评的方法解题的全年级仅有8人，许多学生没有证明出题目本身的的结论，而是证出了其他结论，现摘录如下：

结论1n≥1，n∈N*时，总有++++…+

证明当n≥2时，

所以++++…+

结论2n≥1，n∈N*时，总有++++…+

证明当n≥2时，

所以++++…+

结论3n≥1，n∈N*时，总有++++…+

证明当n≥2时，有

这些证明是徒劳无功的，只能给零分. 此时，学生们都纷纷扼腕叹息！

当我正想转入其他题目的讲解时，突然有个学生甲举手说：“老师，我有发现！”语气中透着兴奋，“我发现2=，，=，分母都是4，分子不断递减，再往后不就是考题中的吗？这说明可利用他们的方法证明这个考题！”

接着学生乙也兴奋地站起来说：“老师，我也有新发现！”我示意他接着说，“我发现2=，，分子、分母均不断递增，再往后就是，，，，等，这也说明可以利用他们的方法证明这个考题！估计还有许多命题可以证明，如++++…+

顿时，教室里群情激昂，议论纷纷，课堂里出现了“意外”. 于是我迅速表扬了这两位同学的探索精神，肯定了他们的发现，并要求全体学生进行讨论.

马上有学生发现：++++…+=1.200 222>，而>>>…因为=1+随着n的增大逐渐减小，所以能证明的命题只有++++…+

此时，教室里一片寂静！突然，学生丙走上讲台，在黑板上写出了自己的证明过程：

当n≥2时，有n3－3n（n－1）=n

“你是怎样想到这个方法的？”我问. 学生丙说：“因为=1+，而我对=－又非常熟悉，所以才想到这个解法.”

“说得好，任何解题思路都源于对目标的结构分析和解题经验的积累，那么考题能否用此法证明呢？”我充分肯定了学生丙对解题思路的分析，并对全体学生提出了新要求.

很快，几位基础中等的学生举起了手，于是我让学生丁在黑板上写出自己的证明过程：

当n≥2时，有n3－4n（n－1）=n（n－2）2≥0，所以n3≥4n（n－1），

望着黑板上整齐的书写和讲台下兴奋的学生，我心里非常高兴，“同学们，通过这节课的学习，我们对这道考题有了更深刻的认识. 几位同学的这种善于联想、勇于创新的学习习惯很值得我们学习，很多人常说，数学难，难于上青天，那么我要说，通往青天的云梯就在同学们的手中！”接着，下课铃响了……

3.教学思考

（1）要勇于上“回炉课”

“回炉课”的实质是教师对自己的课堂教学效果的反思行为，由于种种原因，教师对学生在某些方面的预想与学生真实的知识层次之间存在一定的差距，往往会造成课堂效果的弱化，这时上“回炉”课就显得非常有必要.

（2）把握时机，及时调整

对每一堂课，教师们都有自己完成教学任务的目标和计划，但课堂上常常也会出现一些有益的“意外”，对这些有益的“意外”的重视和有效处理，既能体现教师对学生真正的人文关怀，又能产生心理学中所说的“同体观”效应，即自己人效应，从而获得良好的教学效果.

（3）在课堂上要主动营造民主气氛

新课程标准的课堂是活动的课堂，更是师生之间讨论与合作交流的课堂. 要确保达成课堂教学的目的，就必须让学生暴露其思维认知的过程. 因此，教师要把握好自己是引导者、组织者、合作者的角色，营造良好的课堂民主气氛，还要有意识地留出时间和空间让学生尽情地展示自己，变被动听讲为主动探索，做到相信学生、依靠学生、发动学生.

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