“数理结合”解物理题例析

摘要：在物理的学习与教学过程中，数学是其中的必备工具。本文主要就一些中学物理常用的数学知识作一些必要的阐述。

关键词：物理过程；数学知识；极值；图像

中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2008)3(S)-0048-2

在高考考试说明别强调利用数学工具来解决物理问题。考查学生应用数学知识处理物理问题的能力，是高考的难点与热点。历届高考的物理试卷分析都得出考生在这一问题上的失分率很高，因此要引起足够的重视。下面就一些常见的应用数学的例子加以分析。

应用数学知识处理物理问题首先应正确选用相关的数学知识，如比例、数列、几何、三角函数、不等式、韦达定理、解析几何和参数方程等数学知识。例如在求物理极值时，可从物理过程的分析着手，也可从数学角度思考，如灵活运用二次三项式的性质求极值，用二次函数判别式求极值，用三角函数求极值，用不等式法求极值，用图像求极值等等。

例1 小球从h0高处自由下落，每与地面相碰一次速度就减小为碰前的k倍（k

析与解 本题考查正确运用数学中的数列分析运动学相关问题的能力。要求小球所用的总时间，只需依据运动学公式将小球每碰一次在空中运动的时间列出，求和即可。

球从h0高处下落到地面时的速度

v0=2gh0，运动时间t0=2h0g。

第一次碰撞后小球的速度变为v1=kv0

第一次碰撞后至第二次碰撞前小球作竖直上抛运动，这一过程小球所用时间为

t1=2v1g=2k2h0g。

第二次碰撞后小球的速度变为

v2=kv1=k2v0。

第二次碰后至第三次碰撞前小球继续作竖直上抛运动，这一过程小球所用时间为

t1=2v2g=2k22h0g。

同理可推得，第n次碰后小球的速度变为

vn=2kn2h0g。

由此可知，小球从下落到停止所用总时间

t=t0+t1+t2+…+tn=2h0g+2k2h0g+2k22h0g+…+2kn2h0g=2h0g+22h0g(k+k2+k3+…+kn)。

其中括号内为一个等比数列，由数学等比数列求和公式可得Sn=k(1-kn)1-k。

当n∞时，Sn=k1-k，

因此t=2h0g+22h0g・k1-k=1+k1-k2h0g。

此题关键是找出小球第n次碰撞后在空中运动的时间tn的表达式，看看tn的表达式有何规律(此题中符合等比数列规律)，然后利用数列的有关知识求得最后结果。

例2 如图1，质量为m的滑块，从半径为R的光滑1／4圆弧轨道顶端无初速度下滑，试求滑块在下滑的过程中在何处重力有最大功率，其值为多大?

析与解 本题是考查运用三角函数求物理极值的能力。设滑块与轨道圆心O的连线与竖直方向成θ角时，小球具有最大竖直分速度，即具有重力最大功率。设小球运动到该处时的速度为v，如图1，由机械能守恒定律有

mgRcosθ=12mv2，

则有：v=2gRcosθ。

即vy=vsinθ=2gRcosθ・sinθ。

设x=cosθ・sin2θ，

则x2=cos2θ・sin4θ

=12・2cos2θ・sin2θ・sin2θ。

根据a+b+c3≥3abc，有

2cos2θ+sin2θ+sin2θ3≥32cos2θ・sin2θ・sin2θ，

32cos2θ・sin2θ・sin2θ≤2(cos2θ+sin2θ)3

=23，

2cos2θ・sin2θ・sin2θ≤(23)3=827。

当a=b=c即2cos2θ=sin2θ时，其值最大，所以tanθ=2，

θ=arctan2。

x2max=cos2θ・sin4θ=427。

即xmax=427=239。

当θ=arctan2时，

vy最大，vymax=2gRx=2343Rg，

P=mgvy=2343mgRg。

本道题目巧用平均值不等式a+b+c3≥3abc来解，使复杂的函数关系简化为sin2θ+cos2θ=1的关系，解法简单实用。

例3 为了研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，如图2所示。容器侧面是绝缘透明的有机玻璃，它的上下底面是面积S=0．04m2的金属板，间距L=0．05m。当连接到U=2500V的高压电源正负两极时，能在两金属板间产生一个匀强电场，现把一定质量均匀的烟尘颗粒密闭在容器内，每立方米有烟尘颗粒1013个。假设这些颗粒都处于静止状态，每个颗粒的带电量为 q=+1．0×10-17C,质量为m=2．0×10-15kg,不考虑烟尘颗粒之间的作用力和空气阻力，并忽略烟尘颗粒所受重力，求合上电键后，经过多长时间容器中烟尘颗粒的总动能达到最大?

析与解 根据动能定理：电场力做功等于动能的增量。

设烟尘颗粒下落距离为x，则当时所有烟尘颗粒的总动能

Ek=nS(L―x)・mv2／2

=nS(L-x)・qUx／L。

根据二次函数的性质，当x=L／2时Ek达最大，而x=at21／2，故t1=0．014s。

本题是利用一元二次函数的性质来求解，过程比较简单。

有些物理问题可以依据给定的约束条件，通过作图和简单的计算来求解，这种方法只要正确画出图示或图像，结果便一目了然。

另外，物理图像能形象表达物理规律，直规地描述物理过程，所以物理图像是处理物理问题的重要手段之一。用图像法解题要注意图像的“坐标原点”、“斜率”、“面积”、“截距”的特定意义，能正确“识图”、“画图”和“用图”。

例4 如图3所示，小球被两根细线OA、OB悬挂在空中，细线OB水平，两细线所受拉力大小分别为T1和T2。如果将OA线的悬点移到A′，OB线方向不变，则两根绳上的拉力大小的变化情况如何?

析与解 如图4所示，先画出小球的受力图，重力G、拉力T1、拉力T2。根据平行四边形定则和三角函数关系：假设细线OA与水平方向的夹角为α，则T1=G／cosα,T2=Gtanα。当悬点向左移动时，α角增大，cosα减小，tanα增大，因此，T1和T2均增大。

例5 一只老鼠从洞口爬出沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比。当其到达距洞口为L1的A点时速度为v1。若B点离洞口的距离为L2(L2>L1)，求老鼠由A运动至B所需的时间。

析与解 本题考查正确运用图像解决物理问题的能力。

本题中老鼠的速度随位移的变化是非线性的，不能用运动学公式求解，应考虑其他方法例如图像法来求解。我们熟知的v-t图中斜率及图线所围的面积都具有明显物理意义，所以想通过图像法求t。除了v-x图外，还可以画出v-1x图和1v-x图，图中的曲线与横轴所围面积的数值正是老鼠经过一定位移的时间。若取一条窄条，其宽度Δx(Δx0)很小，此段位移所需时间也很小(Δt0)，可以认为在如此短的时间内，老鼠的速度改变很小(Δv0)，；因而此窄条的面积为S=Δx・1v=Δxv，这正是老鼠经位移Δx所需的时间。所以如图阴影部分面积即为A点到B点所用的时间。

由已知条件及几何知识可得

t=S阴=（1v1+1v2）・（L2-L1）2。

这就是图中阴影部分面积，为A点到B点所用的时间。

本题巧妙地采用1v-x图像，从而使它的“面积”能够表示运动的时间，同时使速度的倒数与距离成正比，使图像为直线，使原本较复杂的运动求解变得容易。

综上可看出，一道物理题目的解决，离不开一些必要的数学工具，有的还需要一些数学的推理方法，如归纳法等。还有一些题目要用到数学上的几何知识，如带电粒子在复合场中运动时，圆心的确定，半径的求定等等。总之，数理是不分家的。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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