船体曲面的 NURBS 表达与设计

摘 要：本文针对船体曲面的NURBS表达与设计进行探讨分析。

关键词：船体曲面；NURBS；非均匀

概述：

NURBS是非均匀有理B样条曲线（Non-Uniform Rational B-Splines）的缩写，NURBS由Versprille在其博士学位论文中提出，1991年，国际标准化组织（ISO）颁布的工业产品数据交换标准STEP中，把NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。1992年，国际标准化组织又将NURBS纳入到规定独立于设备的交互图形编程接口的国际标准PHIGS（程序员层次交互图形系统）中，作为PHIGS Plus的扩充部分。Bezier、有理Bezier、均匀B样条和非均匀B样条都被统一到NURBS中。此理论如今被广泛应用到船舶设计领域中。

一、NURBS曲线与曲面的定义

一条k 次NURBS曲线可以表示为一分段有理多项式函数，其数学定义为：

其中di（i=0，1， ，n）是控制顶点；wi（i=0，1，L，n）称为权或权因子（ weights），分别与di（i=0，1， ，n）相联系；Ni，k（u）是k次B样条基函数，由节点矢量U=（u0，u1，u2，L，un+k+1）按德布尔递推公式决定：

这里di，j（i=0，1，L，m；j=0，1，L，n）是控制顶点，呈拓扑矩形阵列，形成一个控制网格；wi，j是与控制顶点di，j相联系的权因子；Ni，k（u）（i=0，1，L，m）和Nj，1（v）（j=0，1， ，n）分别为u向k次和v向1次的规范B样条基，分别由u向节点矢量U=[u0，u1， ，um+k+1]与v向节点矢量v=[v0，v1， ，vn+1+1]决定。

在大多数工程应用中，k 、l 取为3，可满足产品定义的要求。

二、NURBS曲面的反求

2.1NURBS曲线的反求

2.1.1基本原理

由三次NURBS曲线的齐次坐标表达式：

其中：Di（i=0，1， ，n）为NURBS曲线的带权控制顶点，即Di=[widi wi]；H{}表示中心投影变换，投影中心取为齐次坐标系的原点，即

可知： 一条二维空间中三次NURBS曲线可以看成是三维空间的非有理三次B 样条曲线 在超平面w=1上的投影，因此，若一条三维空间的 k 次非有理B样条曲线依次通过点Qj（j=0，1， ，m），则改曲线在超平面w=1上的投影必通过qj（j=0，1， ，m），其中qj是Qj超平面w=1上的投影。也就是说，三维空间中由控制定点Di= [widi wi]=[wixi wiyi wi]（i=0，1， ，m）决定的非有理B样条曲线在超平面w=1上的投影，正好就是二维平面上以di=[xi yi]（i=0，1，L，n）为控制定点、以wi（i=0，1， ，m）为权值决定的NURBS曲线。

2.1.2NURBS曲线的反求

为了使一条三次B样条曲线通过一组数据点Qj=[wjqj wj]，反求过程一般地使曲线的首末端点分别与首末数据点一致，使曲线的分段连接点分别依次与B样条曲线定义域内的节点一一对应，即Qi点有节点值u3+j（i=0，1， ，m）。该B样条插值曲线将有n个控制顶点Di（i=0，1，L，n）与节点矢量U=[u0，u1，L，un+3+1]来定义，其中，n=m+3-1，即控制点数目要比数据点数目多出3-1=2个，共有m +3个未知顶点。由端点插值要求，应取3+1=4重节点端点的固支条件。取规范定义域 ，于， 是有u0=u1= =u3=0，un+1=un+2= =un+3+1=1。对数据点取规范积累弦长参数化得 ，相应可确定定义域内节点值u3+i=u%i（i=0，1，L，m），即从u3起的定义域内节点值依次取 起的数据点参数值，这样就可由插值条件给出n +1个控制顶点为未知矢量的 m+1 个线性方程：

将曲线定义域内的节点值依次代入方程（3），应满足插值条件：

共含有m+1=n-1个方程。

将所求的控制顶点Di=（i=0，1， ，m）在超平面w=1上进行投影即得S所求NURBS 曲线的控制顶点di=Di（i=0，1， ，n）/w=1。

2.2NURBS曲面的反求

首先根据给定的型值点qi，j（i=0，1，L，m，j=0，1，L，n）沿n向反求NURBS 曲线控制多边形顶点得到控制点为Di，j（i=0，1，L，m+2，j=0，1，L，n），然后沿v向反求NURBS曲线控制多边形顶点。则由两次反求可以得到控制点网格di，j（i=0，1，L，m，j=0，1，L，n），由di，j定义的NURBS曲面即插值于原始的型值点qi，j（i=0，1，L，m，j=0，1，L，n）。

三、船体曲面造型实例

将di，j（i=0，1，L，m，j=0，1，L，n）、节点点矢量及权因子等作为参数，代入式（2）可以得到所求船体NURBS曲面模型p（u， v） （u， v [0，1]）。

对曲面进行三角形划分，当曲面片很小时，各曲面片趋近于平面片，曲面的绘制转化为三角形面片的绘制。对曲面进行三角形填充后，经过浓淡处理即可得到逼真的各种船体模型。

图1（a）为根据上述方法，求得部分船体曲面经过三角形细分后的线框图，图1（b）为对三角形面片经过浓淡处理后生成的部分船体曲面真实感模型。

四、结束语

本文对船体造型中NURBS曲面反求的若干问题进行了深入分析与研究，实现了复杂船体曲面的NURBS造型，结果表明，NURBS方法在形状定义方面比其他方法具有更强大的功能，且具有局部修改方便、光顺性好的优点，为复杂船体曲面的加工奠定了基础。

参考文献

[1]陈绍平，陈宾康.基于NURBS曲线的双艉船型线设计研究[J].中国造船.2001（02）

[2]仵大伟，林焰，纪卓尚.参数化的船体结构特征造型设计[J].计算机工程.2001（06