椭圆上的点到定点与一焦点距离和的最值问题求解

摘 要：椭圆上的点到定点与一焦点距离和的最值问题求解问题主要是在对取得最值条件的分析，在本文中主要利用三角形三边关系的不等关系分析取得最值得条件，并根据定点与椭圆的三种位置关系分别归纳结论并证明，然后对结论进行应用。

关键词：椭圆；距离和；最值

高中数学中的最值问题是高考数学最常见的题型，也是大部分学生感到最棘手的问题。在圆锥曲线中也经常遇到圆锥曲线上的点到定点与一焦点距离和的最值问题，常出现在一些选择和填空题中。为了能够是学生更好的解决此类问题，在此以椭圆为例对其求解方法进行探讨，加深学生对椭圆概念理解的同时形成结论，以便在以后解题中直接应用，提高解题效率，不足之处请大家批评指正。

一、问题

二、结论

（一）当点M在椭圆外时（如图）

结论1：连结点F1，M与椭圆相交于一点P1，显然当点P，P1

重合时|PF1|+|PM|最小，利用距离公式求得最小值；

结论2：连结点M，F2并延长与椭圆相交于一点P2，

当点P，P2，重合时|PF1|+|PM|最大，最大为2A+|MF2|

证明：在椭圆上任取一点P，|PM|≤|MF2|+|PF2|，只有当点P，P2重合时|PM|=|MF2|+|PF2|，所以

|PF1|+|PM|≤|PF1|+|PF2|+|MF2|=2a+|MF2|

所以当点P，P2重合时|PF1|+|PM|最大，最大为2a+|MF2|

（二）当点M在椭圆内时（如图）

1.当点M与F2不重合时

结论1：射线F2M交椭圆与点P1，当点P与点P1重合时

|PF1|+|PM|最小，最小为2a-|MF2|

结论2：射线MF2交椭圆与点P2，当点P与点P2重合时

|PF1|+|PM|最大，最大为2a+|MF2|

证明：由|PF1|+|PM|=|PF1|+|PF2|-|PF2|+|PM|得

|PF1|+|PM|=2a-（|PF2|-|PM|）又|PF2|-|PM|≤|MF2|，

所以|PF1|+|PM|≥2a-|MF2|

只有当当点P与点P1重合时|PF2|-|PM|=|MF2|

所以当点P与点P1重合时|PF1|+|PM|最小，最小为2a-|MF2|

又|PF1|+|PM|=2a+（|PF2|-|PM|），|PM|-|PF2|≤|MF2|，

所以|PF1|+|PM|≤2a+|MF2|

只有当点P与点P2重合时|PF2|-|PM|=|MF2|

所以当点P与点P2重合时|PF1|+|PM|最大，最大为2a+|MF2|

2.当点M与F2重合时

显然|PF1|+|PM|=2a为定值

（三）当点M在椭圆上时（如图）

结论1：容易得当P与M点重合时|PF1|+|PM|最小，最小为|MF1|

结论2：连结点M，F2延长线交椭圆与P1，当点P与点P1重合时|PF1|+|PM|最大，最大为2a+|MF2|

证明：在椭圆上任取一点P，|PM|≤|PF2|+|MF2|，只有当点P，P1重合时|PM|=|MF2|+|PF2|，所以

|PF1|+|PM|≤|PF1|+|PF2|+|MF2|=2a+|MF2|

所以当点P，P2重合时|PF1|+|PM|最大，最大为2a+|MF2|

类似的我们可以得到P为椭圆上任意一点，M为任意的点，求|PF2|+|PM|的范围问题，我们还可以继续思考在双曲线和抛物线中距离和的最值问题。

三、应用举例