论低密度校验码的研究

论文关键词: 低密度校验(ldpc) 码 研究进展

论文摘要: 低密度校验码（low density parity check codes，ldpc codes）是当前编码理论领域研究最热的信道编码之一。本文介绍了ldpc 码的概念及其性能，并对低密度校验码应用的现状和今后方向作出了展望。

一、ldpc码简述

低密度校验(ldpc)码又称为哥拉格(gallager)码,它是哥拉格于1962年提出的一种性能接近香农(shan2non) 限的好码。在很长的一段时间里,ldpc码并未受到人们的重视。直到1993 年,berrou 等提出了tur2bo码后,人们研究发现turbo 码其实就是一种ldpc码,ldpc码又重新引起了人们的研究兴趣。1996 年,mack2ay的研究,使ldpc码的研究跨入了一个新的阶段. 最近几年的研表明,在非规则图上构造的基于gf(q)域上的ldpc码性能要好于trubo 码,它的性能非常接近香农限。ldpc码是根据稀疏随机图来构造的,因而它的码子之间具有很好的码距离。ldpc码属于线性纠错码,它的校验矩阵是一个稀疏校验阵:每个码子满足一定数目的线性约束,而约束的数目通常是非常小的是约束数目为3 的校验矩阵)。同时由于ldpc码的约束是由一个稀疏图定义的,因而使得它的译码变得较为容易。目前,ldpc码已经成为编码领域的一个新的研究热点。

二、ldpc码的性能分析

ldpc码的译码性能分析方法主要可以归纳为三类：1）密度进化（density evolution）理论。2）高斯近似（gaussian approximation）；3）exit 表（extrinsic information transform chart）。

1. 密度进化

ldpc码的和积译码算法或bp算法中，信息在变量节点和校验节点之间不断迭代传递的，每次迭代传递的信息是随机变量。在这种迭代译码中，存在一种阈值现象，即在信道噪声水平低于某个阈值时，随着码长趋向于无穷大时，码的ber 可以任意逼近零，否则错误概率将大于一个正常数。最早由gallager利用组合数学和概率理论对和积译码算法下码的误码率进行了理论分析并观察了二进制对称信道（bsc）的阈值现象，提出跟踪ldpc 码迭代传递的外信息的概率分布来分析译码器的收敛行为，即对于每次迭代计算节点的输出误比特率，输出误比特率是本次迭代输入误比特率的函数，每次迭代的平均误比特率可以通过变量节点和校验节点之间传递的信息的概率密度函数得到。luby etal将这种分析思想应用到ldpc码的硬判决译码中，在二进制删除信道（bec）中译码过程同样存在这种阈值现象，利用随机构造的非规则ldpc 码可以改进阈值，非规则ldpc 码的性能优于规则ldpc码。richardson和urbanke在gallager 和luby的工作基础上将对ldpc 码的译码算法的分析方法扩展到更一般的信道模型。在给定的信道模型下，假设基于二分图的ldpc是无环的，或在设定的迭代次数和校验矩阵足够大的情况下，信息节点在深度为2的邻域内为树状结构，那么在节点之间迭代的信息是独立同分布的随机变量。richardson等人分析了这些传递信息的概率密度的进化情况，发现在和积译码算法的每次迭代信息传递中出现错误信息的部分可以递归地表示成ldpc码的度分布序列和信道参数的函数。迭代计算节点间传递信息的概率密度函数的方法就称为密度进化。richardson等在进一步的研究中表明描述节点间传递的错误信息的概率是一种称为martingale 的随机过程，在和积译码算法下信息的平均错误概率集中在它的期望值周围，当码长趋向于无穷时，基于有环二分图的ldpc码的译码性能逼近无环时的行为。

2.高斯近似。利用密度进化理论来计算阈值和寻找好的度数分布的算法复杂度是相当大的，特别对于信息概率密度函数是多维的信道来说，密度进化算法就过于复杂而难以处理。为提高密度进化算法的计算速度，chung等人采用高斯近似的方法，即根据中心极限定理可以近似认为节点间迭代的信息的概率密度函数是符合高斯分布的，这样将迭代计算的多维问题转化为更新高斯密度均值的一维问题，就大大简化了分析和计算信道参数阈值的复杂度，而且可以快速的搜索和优化非规则ldpc码。这样可以将信道阈值的计算由多维参数动态系统的密度进化理论模型转化为单一参数（均值）动态系统的高斯逼近模型，在只需要牺牲很小的精度就可以得到计算维数上的巨大降低，从而可以很快计算出阈值和优化度序列的分布。高斯近似是一个很好的分析工具，被很多关于迭代译码性能分析中所采用。如利用混合的高斯近似方法来对基于ldpc 码的mimo-ofdm 系统进行译码分析、寻找好的度分布以及优化系统的性能。

3. exit表。exit表（extrinsic information transfer chart）是由s. ten brink提出的一种用迭代译码器之间传输的外部信息来表征迭代译码中收敛行为的分析工具。对于串/并行级联码，exit表技术是跟踪分量码之间信息交换（互信息）的情况来估计译码器的收敛性，并且可以分析影响译码算法收敛性的因

素(如分量码的选择等)，适当地改变这些影响因素可以优化系统的性能。s. ten brink 等人[56]将exit表技术引入到ldpc 码译码分析中，即把ldpc 码的译码过程可以看作是变量节点译码器和校验节点译码器之间外部信息的迭代，用exit 表跟踪译码器之间的互信息传递来估计ldpc 码和积译码算法的收敛性。文献[56]中还给出了在不同的信道模型下（awgn，mimo 等信道）利用exit 表技术来计

算信道阈值和寻找好的度分布序列，从而优化系统的性能。

三、ldpc码的应用及展望

1996年，mackey和neal重新研究了ldpc码后，研究人员发现ldpc码具有很多非常好的特点，如能够逼近香农信道容量，描述及实现简单，易于进行理论分析和研究，译码简单且易于实现等。近年来，ldpc码以其优异的性能和良好的应用前景受到研究人员的关注，成为编码理论界的一大亮点和热点。目前，ldpc码可以应用于深空通信、卫星通信，光纤通信、adsl、磁记录设备及无线局域网等领域。ldpc码今后的研究主要集中在: ⑴现有的可信传播迭代译码方法还比较复杂,寻找ldpc码的线性时间译码算法将成为一个重要的课题。⑵对于非规则图设计的研究,寻找获得最优的序列λ和ρ的方法,以得到较好的码结构,提高ldpc码的性能。⑶继续探讨ldpc码在通信和计算机领域的应用。目前已有人将它的纠删方法应用于计算机通信网中,用于恢复在传输中丢失的数据,获得了很好的效果。今后将会加强这方面的研究工作。目前，ldpc码研究领域的主要工作集中在译码算法的性能分析、编码方法、码的优化算法等方面。经研究人员的努力，ldpc编码领域取得很大进展，但仍有许多问题需要研究：

• ldpc码校验矩阵的构造。尽管在构造最优的ldpc码方面取得了一些进展，但目前还没有一套系统的办法来构造所需要的好码，特别是在码字长度有限、码率一定的条件下，构造性能优异的好码是一个非常具有挑战性的课题。这方面的研究可以借助有限域理论、图论等相关理论。

• ldpc编码系统的联合优化设计。将编码技术与调制技术、空时编码技术、ofdm结合进行性能优化是当前及将来的发展方向之一。 ．

• 无线衰落信道及mimo信道下ldpc码的性能分析方法及优化设计准则。目前ldpc码字的优化设计主要在加性高斯白噪声信道下得到的，而无线衰落信道下，特别是时变信道下码字的性能分析方法、优化设计准则和信道估计的影响也是非常关键的课题，需要进一步的研究探索。

• 寻找适合硬件实现的编译码方法也是一个非常值得研究的课题。

参考文献:

[1]王新梅,肖国镇.纠错码—原理与方法[m].西安:西安电子科技大学出版社.1998.

[2]陈军,孙韶辉,王新梅.基于a3算法的快速软判决译码[j ].西安电子科技大学报.2000.27.(2)

[3]白宝明,马啸,刘丰.三维turbo码的设计与性能分.[j ].西安电子科技大学学报.1998 .25.(5).