利用函数图像激发学生的探究函数的兴趣

【摘 要】本文以函数图像在解题中的应用为例体现函数图像的优势，以激发学生的探究函数兴趣。

【关键词】解析式；函数图像；探究；初等函数；点对称；数形结合

学生进入高一的数学学习不是“坡的上升”而是“坎的跳跃”，在初中的所学习的函数基本都是用解析式表示，对学生的影响是函数的图像是解析式的副产品，对于这样的错误影响在函数的表示部分虽然强调，解析式和图像的地位同等，学生解题时常用解析式，而忽视了函数图像的优点，下面就以函数图像在解题中的应用为例体现函数图像的优势，激发学生的探究函数兴趣。

例1、已知函数

f（x）={3-x2，x∈[-1，2]

x -3，x∈（2，5]

（1）写出f（x）的单调递增区间；

（2）由指图像出当x取什么值时f（x）有最值.

解析：依分段函数

f（x）={3-x2，x∈[-1，2]

x -3，x∈（2，5]

当x∈[-1，2]时，是二次函数图像的一部分，当x∈（2，5]时，是一次函数的一部分，如图所示在直角坐标系中做出函数的图像

（1）由函数f（x）的图像就可以看出函数f（x）的单调递增区间为[-1，0]（2，5]。

（2） 由函数f（x）的图像就可以看出，f（x）的单调递增区间为[-1，0]（2，5]，单调递减区间为（0，2]，当x=2时，f（x）取得最小值f（2）=-1；当x=0时f（x）取得最大值f（0）=3

方法与技巧：函数图像本身是函数的一种表示形式，但是对于许多学生是一个难点，对于数形结合没有很好的利用。教学时强调用一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对手函数，幂函数等初等函数；以及这些基本函数图像的平移（如y+b=f（x+a））；分段函数等等用解析式表示是，先根据解析式做出函数图像，就可以直观的观察出函数的单调性区间、最大值、最小值、函数的值域等问题。

例2、定义在实数R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）=x2-x；

计数f（0）； f（-1），

求f（x）的解析式；

解析：（1）奇函数f（x）的定义域是R，

f（-x）=-f（x） f（0）=-f（0） 即f（0）=0

函数f（x）是奇函数 ， 对定义域内的任意一个x，有f（-x）+f（x）=0

所以f（x）的图像关于原点对称当x>0时f（x）=x2-x顶点（1/2，-1/4）对称轴x=1/2过点（1，0）开口方向向上，做出函数图像。

所以关于原点对称的顶点（-1/2，1/4） 对称轴x=-1/2 过点（-1，0），开口方向向下，做出关于原点对称的函数图像 。

即 f（-1）=0

（2）由函数的图像可以看出，当x

综上所述，当x>0时f（x）=x2-x 、当x=0时 f（x）=0、x

方法与技巧：根据奇函数的图像关于原点的对称性；给出函数的解析式做出一部分图像，取图像上的特殊点，根据对称性做出另一部分图像，根据图像得出解析式；通过这一道题可以使学生感觉到函数图像变化的美感，激发学生对函数深层次的研究，对函数从不同角度进行探究，感觉函数不同的表示形式之间的区别与联系。

例3、已知不等式x2-loga x

解析：由x2-loga x

（A）

（B）

由构造的两个函数，在同一坐标系下做出 f（x）=x2，g（x）=loga x.图像，图像（A）是a>1，即x2>loga x，不符合题意.

图像（B）是0

当0

loga（1/2）

得 1/16

a的取值范围是（1/16，1）.

方法与技巧：构造函数图像解不等式。不同类型的多项式组成的不等式、方程通过构造函数图像解方不等式一目了然，对于同一自变量x来说，函数图像在上方的函数值大；图像在下方的函数值小。主要用于基本初等函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等不同类型的函数之间。通过观察函数图像的位置，解方程寻找函数图像的交点的横坐标，观察图像的位置，写出不等式的解集。

数形结合的方法作为高中数学函数常用的方法之一，也是函数不同形式的表示，要通过数形结合的解题方法培养学生的思维品质，注重同一事物之间的相互转化，把握他们之间的内涵和外延，善于从不同的角度、多方位的思考问题，突破定势思维，把问题加以转化，挖掘隐含条件，及时调整思维，寻找最佳的解题途径，培养浓厚的学习兴趣和顽强的学习毅力；勇于探究函数的创新精神。

作者简介：

邓正红，男，（1974.10～），甘肃成县人，陕西师范大学成州中学，数学教育，本科，中学二级。