追根索源,正确解题

数学中的定义、性质、定理、公理是数学解题的依据，是解题思路的源头。但是这些结论往往在一定的前提条件下才成立，所以运用这些定义、性质、定理解题时一定要注意结论在什么样的条件下才成立；由条件能得到结论，结论是不是能得到条件，等等。这些限制条件常常伴随着定义、性质、定理推导而产生。因此在数学课堂上一定要注重知识和技能的形成过程，切忌把公式、定理、性质的结论直接传授给学生，对知识的形成过程轻描淡写，这样学生仅仅记住了公式性质和定理的结果，而忽略了对它成立时的前提条件和背景，结果却在解题中反复地犯同样的错误，跳不出自己错误的圈子。下面是我在教学中遇到的一个案例。

在一节解不等式课上我向学生出示了这样一道题：已知函数f（x）=ax-c，满足-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值及取得最大值和最小值时对应a，c的值.

学生的解法如下：由题意得f（1）=a-c，f（2）=4a-c

因为-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，

所以-4≤a-c≤-1 ①，

-1≤4a-c≤5 ②.

所以1≤c-a≤4 ③ 即4≤4c-4a≤16 ④.

②+③得0≤3a≤9，0≤a≤3.

由②+④得3≤3c≤21，1≤c≤7

又因为f（3）=9a-c，0≤9a≤27，-7≤-c≤-1

所以-7≤9a-c≤26，即-7≤f（3）≤26.

所以，当a=0，c=7时f（3）有最值-7；

当a=3，c=1时f（3）有最大值26.

得出这样结果的同学还沾沾自喜，觉得自己解得非常的正确。我顺势把另一种解题过程展示给他们，要他们比较一下这两个解法哪个是正确的，每一种解法的理论依据是什么，错的错在什么地方，正确的又因何是正确的。（这样做的目的是鼓励学生在平时的解题过程中要注意知识的来龙去脉，不仅要知其然而且要知其所以然，引起学生对知识形成过程的重视。）我给出的解法如下。

因为f（1）=a-c，f（2）=4a-c，

因此-1≤f（3）≤20，

所以，f（3）的最大值为20，此时a=3，c=7；

f（3）的最小值为-1，此时a=0，c=1.

同学们经过激烈讨论还是得不出最后答案。于是我又给出了第三种解法，转化为线性规划问题来求解，解法如下.

解：由-4≤f（1）≤-1得-4≤a-c≤-1；

由-1≤f（2）≤5得-1≤4a-c≤5，

即线性约束条件为-4≤a-c≤-1 ①-1≤4a-c≤5 ②

目标函数为z=f（3）=9a-c。

作出约束条件的可行域：如图平行四边形ABCD.

作出平行直线系z=9a-c，c=9a-z，斜率为9.

当平行直线经过点A（0，1）时z最小，最小值为-1；

当平行直线经过点C（3，7）时z最大，最大值为20.

所以当a=3，c=7时，f（3）取最大值20；

a=0，c=1时，f（3）取最小值-1.

请同学们分析这种解法是否正确.经过激烈讨论后，得出一致结果：后面两种解法是正确的（大概是看到后面两种解法答案一样，才会有这样的结果）.但当我问道：第一种解法为什么错，错在哪儿呢？后面的两种解法为什么对？它们的各自解题理论依据是什么？同学们却陷入了沉思，迟迟答不出来.

事实上，我们来比较一下前两种解法的区别：前两种解法都运用了不等式的性质：a＞b，c＞d，a+c＞b+d（这就是解题的理论依据）.而学生的解法是利用同向不等式相加的性质，求出a、c各自的范围后，又利用同向不等式相加的性质求出9a-c的范围，这里就有问题了：

同向不等式相加性质：若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，

但是反过来若a+c＞b+d，得不出a＞b，c＞d.

这里利用-4＜a-c＜-1，-1＜4a-c＜5求出0＜a＜3，1＜c＜7.反过来再利用0＜a＜3，1＜c＜7得出的-7＜a-c＜2，-7＜4a-c＜11已经不是原来的已知条件，所以再利用0＜a＜3，1＜c＜7得出的9a-c的范围太大了.这就是错误的真正原因.而在第二种解法中直接运用a-c和4a-c的范围，依据同向不等式相加的性质求出f（3）=9a-c的范围，这里的解法是正确的.在不等式的8条性质中有些条件可以推出结论，但由结论得不出条件，这一条就是其中之一，运用这些性质解题时一定要注意.

而第三种解法是利用线性规划的知识来解的：作出可行域，移动目标函数，求出最优解.这种解法是正确的，因为：不等式①②确定了一个平面区域（如图）由图可以看出，a和c并不是相互独立的关系，而是由不等式组决定的相互制约关系。a取得最大（小）值时，c并不能同时取得最大（小）值；c取得最大（小）值时，a并不能同时取得最大（小）值。而学生解法的问题正在于此，由于忽略了a和c的相互制约关系，所得出的取值范围比实际的范围要大.利用线性规划来解，整体上保持了a和c的相互制约关系，因而得出的范围是准确的.但是一定要注意约束条件变化时要进行等价变换.

上面的这个案例给了我太多的思考，“新课标”提出的教学目标就是：在平时的教学课堂中既要重视知识与技能的传授，又要注重情感态度与价值观的培养，更要注意让学生经历知识的推导过程，进一步掌握求解问题的一般方法.

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