例谈“都是定义域惹的祸”

摘 要：函数是中学数学一块非常重要的知识，在高考中函数的内容也占了很大的比重. 函数的定义域是函数三要素之关键，也是我们研究函数问题的出发点，它在解决与函数有关的一些题目中起着十分重要的作用. 本文通过几个具体的实例来说明平时研究函数问题应注意函数的定义域.

关键词：函数；定义域；避免错误

函数是中学数学一块非常重要的知识，在高考中函数的内容也占了很大的比重. 函数既是高考的重点又是高考的热点，也是学生学习的难点. 函数的定义域是函数三要素之关键，往往在解题中被学生所忽视. 下面举例说明学生在解题中比较典型的错误，供大家参考.

求函数的值域问题中应注意函数的定义域

例1 求函数f（x）=x2-2x-4在x∈[-3，2]上的值域.

错解：由f（x）=x2-2x-4=（x-1）2-5≥ -5得f（x）的值域为[-5，+∞）.

错误原因：此题是高中学生尤其是高一学生常犯的一个错误，由于受初中相关知识的影响，学生理所当然地认为开口向上的二次函数在顶点处取得最小值，而根本没有考虑自变量x即函数定义域对函数值域的影响.

正解：因为f（x）=（x-1）2-5在x∈[-3，1）上单调递减，在x∈（1，2]上单调递增，且f（-3）=11， f（1）=-5， f（2）=-4. 所以f（x）的值域为[-5，11].

这个例题虽然简单，但对高一学生初学函数值域时却相当容易出错. 本例说明，在函数定义域受限制时，若能注意定义域的取值范围对函数值域的影响，并在解题过程中加以应用，将会减少不必要的错误.

求函数单调区间问题中应注意函数的定义域

例2 求函数f（x）=log（x2-2x-3）的单调递增区间.

错解：此函数由f（x）=logu，u=x2-2x-3复合而得，由复合函数的单调性法则可知f（x）的单调递增区间为（-∞，1）.

错误原因：未注意到此复合函数的定义域.

正解：由真数x2-2x-3>0可解得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞），所以正确答案为（-∞，-1）.

例3 若函数f（x）=log（x2-ax-3）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围.

错解：由复合函数的单调性法则可得a满足≥-1，即a≥-2.

错误原因：未注意到此复合函数的定义域.

正解：同样，做此题时应注意函数的定义域，由复合函数的单调性法则可得a满足≥-1，即a≥-2；同时f（x）必须在（-∞，-1）上有意义，所以当x=-1时，x2-ax-3≥0，故a≥2. 综上得a≥2.

这两道例题有一定的典型性，尤其是例3这道题，学生非常容易忘记考虑定义域这一限制条件，教师在平时的教学中应多关注，让学生养成全面思考问题的习惯. 同时，要培养学生的数学修养，做到触类旁通.

在基本不等式应用中应注意函数的定义域

例4 求函数f（x）=x+在x∈[4，8]上的最小值.

错解：因为x∈[4，8]，所以由基本不等式得f（x）=x+≥2=4，故f（x）min=4.

错误原因：上述解法未关注基本不等式取等号的条件：当且仅当x=即x=2时取等号. 而由题意知2?[4，8]，所以此题不能用基本不等式来做.

正解：因为f ′（x）=1-=，且x∈[4，8]，所以f ′（x）>0，所以f（x）在x∈[4，8]上单调递增，故f（x）min=f（4）=5.

基本不等式适用的条件是本题的关键，很多学生平时往往只看到形似，而没有注意到问题的本质，以至于解决问题时也是一知半解，张冠李戴.

在方程根的分布问题中应注意函数的定义域

例5 已知关于实数x的方程x2+ax+3=0有两个大于零的相异实根，求实数a的取值范围.

错解：由判别式Δ=a2-12>0，得a>2或a

错误原因：上述结论只能说明此方程有两相异实根，而不能保证两根均大于零，关键问题还是在于没有关注函数f（x）=x2+ax+3的定义域.

正解：记f（x）=x2+ax+3，则由题意有f（0）>0，

高中数学的一个重点和难点，尤其是这种有限制条件的根的分布问题，其本质实际上是函数的定义域在改变. 如果在平时的教学中强调学生抓住这个本质，那么很多问题都将迎刃而解.

如果说上述几种错误只是对于初学函数者容易出错，那么下面几种错误即使对于高三学生来说也是出错频率比较高的类型，在平时的教学中应该引起足够的重视.

在数列问题中应注意函数的定义域

例6 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-tn+2，t∈R，若此数列为单调递增数列，求实数t的取值范围.

错解：记f（n）=n2-tn+2，因为n≥1，所以只需对称轴n=≤1即可，解得t≤2.

错误原因：上述错误解法只关注到n≥1，而没有关注到还有一个条件n∈N*. 事实上，此函数图象不是连续的，而是由一些孤立的点构成的.

正解：因为n≥1，n∈N*，所以只要对称轴n=

数列是一种特殊的函数，它的特殊性主要表现在其定义域为正整数集，因此解决数列问题时要时刻关注这一特殊性.

内单调递减. 又S（x）=a为一条水平的动直线，故无论a取何值都无法做到图象有两个不同的交点，所以不存在这样的实数a.

对于法一和法二得到的结论学生都非常认同，而对于法三得到的结论学生花了很长时间也找不出错在什么地方. 这时笔者重点让学生观察法二与法三，让他们相互讨论，找找不同之处. 终于，大约过了三分钟，有一个学生站起来回答说：法三的函数T（x）=在区间

上不连续，因为当x=2时它没有意义，而法二不存在这样的问题. 哦，原来是定义域发生了改变，导致问题不等价了.“都是定义域惹的祸”，学生说出了发自内心的感慨！的确，T（x）=只能说是在

上单调递减，在（2，e）上也单调递减. 这样数形结合可得1

以上例子说明，凡是跟函数有关的问题，我们都应该以函数的定义域作为研究问题的出发点，我们每变换一个角度去思考问题，都应该考虑问题的等价性，即定义域是否发生了改变. 古人云：“失之毫厘，谬以千里.” 任何一个细节的改变都有可能改变整个问题的局势. 如果我们在平时的教学实际中，多跟我们的学生强调定义域的重要性，让他们时刻提高警惕，我想“都是定义域惹的祸”这样的感叹将会变少，我们的学生也可以从中提高质疑辨析的能力，从而为整个高中数学乃至人生的学习带来宝贵的财富.