拱坝-可压缩库水-地基地震波动反应分析方法

摘要：本文采用理论数值模型严格模拟可压缩库水与拱坝、地基间的动力相互作用，提出了一种拱坝?可压缩库水?地基系统地震波动反应的时域显式分析方法.针对位于Ⅸ度地震设防区、坝高292m的小湾高拱坝，用本文方法进行了地震动力反应分析，得到如下结论：考虑库水可压缩性将显著降低对小湾拱坝抗震起关键控制作用的部位的动拉应力，降低幅值可达45？表明附加质量模型过分夸大了小湾拱坝的地震动应力反应，对小湾拱坝的抗震安全评估是不合理的.

关键词：拱坝 可压缩库水 库水地基相互作用 地震反应

1 研究现状

Clough[1]基于有限元法开发了最早的拱坝地震反应分析程序——ADAP，其中将地基模拟为带有固定边界的无质量弹性体，没有考虑库水的影响.在ADAP程序的基础上，Kuo[2],Ghanaat和Clough[3]将库水视为不可压缩水体以附加质量的方式考虑了库水动水压力的影响，开发了计算程序EADAP.为了考虑库水可压缩性的影响，Fok和Chopra[4]在频域内建立了拱坝—库水—地基系统动力相互作用分析的三维有限元子结构模型，但其中地基为无质量弹性体，没有考虑行波影响，以吸收系数表述的阻尼吸能边界来近似模拟库水—地基的动力相互作用，吸收系数根据库底地质条件估算，由于无质量地基可以避免地基惯性引起的对入射地震动的放大效应，但不能合理代表坝体—地基的动力相互作用，表示库水—地基动力相互作用的库底吸收系数也是基于库水和均匀半无限空间的波反射表达式而提出的近似关系，研究对象的实际几何形状以及库区的地质、地貌特征使得该系数很难估计，实际上反射系数模型仅仅计入了地基的阻尼影响而未能考虑到地基惯性的影响，通常应用的一维模型的反射系数也不全面，理论上它会低估三维实际地基的辐射阻尼效应.此后，Tan和Chopra[5，6]改进了Fok和Chopro[4]模型，用边界元离散地基，在坝体—基岩动力相互作用中考虑了基岩的惯性和阻尼，但仍保留了在坝体—地基交界面一致地震输入的假定和库底吸收边界条件的假定.Dominguez和Maeso[7]在频域内建立了拱坝—库水—地基系统动力相互作用分析的三维边界元模型，严格考虑了坝体—库水动力相互作用、坝体—地基动力相互作用、库水—地基动力相互作用，比较了严格的库水—地基动力相互作用模型与Fok和Chopra库底吸能边界模型在简谐输入地震波作用下拱冠顶加速度的频响函数，结果表明两者间有显著差异.Zhang、Jin和Pekau[8]也提出了拱坝—地基动力相互作用分析的有限元—边界元—无限元模型，这一工作的创新点主要在于对阻抗函数简化处理后的时域模型方面，库水模型为附加质量.杜修力、陈厚群和侯顺载[9]应用时域显式有限元方法结合透射人工边界，建立了拱坝—地基非线性地震波动反应分析模型和方法，Du xiuli、Zhang yanhong和Zhang baiyan[10]为消除透射人工边界的高频失稳，在这一拱坝—地基非线性地震波动反应分析模型中进一步引进了与介质应变成正比的阻尼.杜修力、涂劲、陈厚群[11]还将动接触力模型与时域显式有限元方法结合建立了有缝拱坝—地基非线性地震波动反应分析模型和方法.Du Xiuli等人的分析模型中考虑了坝基中节理、裂隙、断层的非线性特性和介质非均匀特性，由于是在时域进行的物理过程的直观模拟，因此，严格反映了地震波传播过程的行波效应，但对库水的影响仍是采用了不考虑库水可压缩性的附加质量模型.

由于库底吸收边界模型存在吸收系数难以确定的困难，而且吸收系数是用一维模型或人为经验确定的，存在不准确和不确定性，其取值又对拱坝地震反应影响很大，因此，这种近似模型并未在实际中得到应用.不考虑库水可压缩性的附加质量模型由于其简单和在一定程度上近似反映了一些实际情况在工程应用上得到了有条件的认可，但学术界仍有较大争议.Dominguez和Maeso[7]在国际上首次采用了严格的理论模型来分析可压缩库水对拱坝在简谐输入地震波作用下的反应，但未与附加质量模型进行比较，更未就作为抗震设计控制指标的坝体应力进行分析.20世纪80年代和90年代，为从原型试验中得到对这一问题的准确理解，中美两国合作在响洪甸、泉水、Monticello、东江、龙羊峡等拱坝进行了一系列现场激振试验，取得了有意义的重要进展，但遗憾的是并未获得一种是否应该考虑库水可压缩性以及如何考虑的明确结论.这也表明库水可压缩性问题无论是从学术上或是从实际工程应用上都需要做进一步的深入研究.在用模型试验和原型试验验证理论上近似的数值分析模型仍有一定困难的情况时，采用理论上严格的数值分析模型与之比较应不失为一种选择途径.

本文考虑库水可压缩性，提出了拱坝—可压缩库水—复杂地基地震波动反应时域显式分析方法，并以小湾拱坝为例进行了实例分析并与附加质量模型方法进行了比较.

2 拱坝—库水—地基系统非线性地震反应分析方法

2.1 显式有限元内点公式

2.1.1坝体和地基区域 考虑到坝体和地基都有一定的阻尼，且网格尺寸差别较大，这时坝体—地基系统有限元离散模型中的阻尼比变化范围很大.因受稳定的影响，Du xiuli、Zhang yanhong和Zhang baiyan[10]应用的显式有限元内点计算格式虽简单但稳定性要求高，杜修力、王进廷[12]提出的计算格式虽然每一步的计算工作量稍大，但稳定性好.特别是前者对于无介质阻尼的情况是无条件失稳的，计算稳定性要求的较大介质阻尼又与输入地震波时假定的弹性半空间地基有矛盾，从而对水平基岩面的设防地震动标准产生影响(取不同深度的底部人工边界在理论上就得不到一个确定的设防标准值).事实上，相对于地基辐射阻尼而言介质阻尼的影响是可以忽略的，因此，不从分析模型的角度考虑地基介质材料阻尼而仅就控制人工边界数值失稳的角度引入极小的与介质应变成正比的阻尼是合理的，另一种解决途径是对地基人工边界计算区不考虑介质阻尼.

这里对拱坝和地基区域采用杜修力、王进廷[12]提出的显式有限元计算格式：

2.1.2库水区域 库水的粘性系数很小，一般都假定为理想流体，但为了消除多次透射人工边界高频失稳问题，需要引入很小的与刚度成正比的阻尼.由于这时的阻尼非常小，从计算量和稳定性两方面考虑，王进廷、杜修力[13]提出了一种对零阻尼和小阻尼非常有效的计算格式，其位移和速度计算公式表述如下：

2.1.3库水与坝体、库水与地基交界面的边界条件 (1)库水与坝体、地基交界面法向位移连续；(2)库水与坝体、地基交界面切向剪力为零；(3)库水与坝体、地基交界面法向力平衡.

用下标1表示与坝体和地基相关的变量，下标2表示与库水相关的变量；用正交坐标系的z方向表示交界面法向方向，x、y方向表示切向方向，交界面结点l的位移、速度的表达式为(详细推导过程可见参考文献[13])

2.2人工边界 由于多次透射人工边界对平行于人工边界的波传播是无效的，因此，要求由其计算的波是向外射向人工边界，一般通过总场减去自由场的方式可以获得这种散射波场.但拱坝—库水—地基系统中，难以确定库水上游端自由场，也就不能确定要求的散射波场.多次透射人工边界的修正公式的优点是可以反映平行人工边界的波传播，若将总场分解为入射场和外行场后，垂直入射地震动作用时在库水上游边界无射向人工边界的波场，此时在射向库水上游边界的外行波场中虽有平行于人工边界传播的波，但用廖振鹏和李小军[15]提出的多次人工透射边界的修正公式可以实现完全模拟，因此，在这里采用多次透射人工边界修正公式.

2.3地震动输入 本文仍采用杜修力、陈厚群和侯顺载[11]使用的波场分解方法，在人工边界区将总场分解为入射波场和外行波场，用多次透射人工边界的修正公式计算外行波场，这也使计算工作相对于自由场和散射场的分解方式要简便得多.

3 考虑库水可压缩性的小湾拱坝地震反应分析

拟建中的小湾水电站，位于云南省凤庆县和南涧县交界处，在澜沧江与左岸支流黑惠江汇合口至以下3.85 km的河段上.小湾水电站总库容145亿m3，总装机容量4200MW，主要用于发电、防洪和灌溉，是8级开发澜沧江中下游河段的两个核心电站之一.坝址河谷相对较宽，呈V型，坝顶处河谷宽720m，两岸山坡平均坡度分别为40°～42°，坝址区基岩主要由黑花岗片麻岩，角闪斜长片麻岩组成.拱坝坝高292m，为抛物线变厚度双曲拱坝，大坝上游正常蓄水位1240m，常遇低水位1181m，满库时基本自振周期接近于1s.小湾电站周围地质条件比较复杂，历史地震发生频繁，经中国地震局烈度评定委员会审查，确定工程区基本烈度为Ⅷ度.小湾拱坝的设计烈度为Ⅸ度.

3.1计算基本资料 坝体几何尺寸和坝体及地基基本材料特性，采用昆明勘测设计院提供的技术资料.坝底高程953m，坝顶高程1245m，最大坝高292m，坝顶弧长935m，坝顶厚12m，坝底厚73m.混凝土动态弹性模量Ed=27.3GPa，密度ρd=2400N/m3，泊松比νd=0.189.基岩根据实际情况细分为21种材料(表1)，取瑞利阻尼假定，为方便与Du xiuli、Zhang yanhong和Zhang baiyan[10]的结果的比较，确定瑞利阻尼系数的两阶阻尼比仍取为0.05(分别对应于f1=1.0Hz和f2=15.0Hz).

表1 地基材料参数

对于Ⅸ度设防的小湾拱坝，国家有关部门审核确定水平向设计地震动峰值加速度为0.308g，竖向设计地震动峰值加速度取水平向的2/3，即0.205g.本文采用以设计反应谱为目标谱生成的人工地震波作为输入地震波，考虑到从弹性半空间水平基岩面的地震动反演为无穷远垂直输入地震波的问题，将其时程曲线乘以05以后如图1所示.

(a)横河向

(b)顺河向

(c)垂直向

图1 小湾人工合成地震波

3.2有限元模型 本文计算中，小湾坝体和基岩部分有限元网格采用Du Xiuli等[10]文中给出的剖分网格，该网格以三维8结点单元以及6结点退化单元对坝体和地基进行有限元离散，共划分20107个单元，22878个结点，坝体—地基系统的网格剖分示意图如图2所示.库水部分单元由作者根据坝体—基岩系统单元剖分情况剖分而成，高水位时共有971个单元，1201个结点，其中包括库水与坝体—基岩系统交界面结点334个；低水位时共有583个单元，756个结点，其中包括库水与坝体—基岩系统交界面结点249个.

图2 小湾拱坝—地基系统网格剖分示意

3.3计算工况 计算中分不可压缩库水的附加质量模型和可压缩库水模型两种情况，考虑了无库水的空库和有库水时的高水位和低水位3种工况.正常蓄水位1240m(库水深度287m)即高水位，低水位即为常遇低水位1181m(库水深度228m).

3.4 三向输入地震动时小湾拱坝的地震反应 同时输入图1所示的横河向、顺河向和垂直向3个方向的小湾拱坝场址人工合成的地震动加速度对小湾拱坝模型进行计算，得到上游面主要位置位移、加速度和应力反应最大值和最小值，见表2～表5.图3～图5为坝顶上游面拱冠处位移、加速度和应力时程曲线.由表2可见，高水位时附加质量模型计算出的拱坝各点的最大位移的绝对值反应几乎都较可压缩库水模型计算出的相应值大，特别是拱冠梁的顺河向位移反应；低水位时也有同样趋势，只是在拱冠梁处不如高水位明显.考察表3可以看到加速度绝对值与前面的位移反应有几乎相同的结果，只是两者相差更小，低水位时拱冠梁顺河向加速度反应则略有不同.

表2 主要位置位移绝对值的最大值(单位：m)

表3 主要位置加速度绝对值的最大值(单位：m/s2)

观察上游面主要位置的最大应力表(表4)和最小应力表(表5)可以发现，附加质量模型计算得到的横河向和垂直向最大应力值大于可压缩库水模型计算得到的最大值，最小值小于可压缩库水计算模型计算得到的最小值；而顺河向结果除低水位时拱冠顶外正好与此相反，可压缩库水模型计算得到的最大应力值大于附加质量模型计算得到的最大值，最小应力值小于附加质量模型计算得到的最小值.对于应力反应较大的拱冠中、上部分，可压缩库水模型求得的拱向、梁向应力均显著低于附加质量模型求得的拱向、梁向应力，高水位时拱冠顶拱向拉应力较低水位时拱冠顶拱向拉应力降低更多，可达20%以上，特别是对于拱坝抗震起控制作用的拱冠梁中、上部梁向拉应力，库水可压缩效应可使其降低达45%.由于混凝土抗拉强度远远低于抗压强度，按照经验，对拱坝抗震安全设计起控制作用的通常是拱冠梁上部1/3附近处的梁向拉应力，而拱冠中、上部的拱向拉应力实际上由于横缝的存在而不会如表中所示.当考虑到这一因素时，中、上部的梁向拉应力对两种计算模型都会有所增加，我们将在今后的研究中进一步研究这一问题.

表4 主要位置应力最大值(单位：MPa)

表5 主要位置应力最小值(单位：MPa)

图3 坝顶上游面拱冠位移时程曲线(顺河向)

图4 坝顶上游面拱冠加速度时程曲线(顺河向)

图5 坝顶上游面拱冠应力时程曲线(垂直向)

4 结论

本文考虑了库水的可压缩性，对小湾拱坝—库水—地基系统的地震反应进行了初步分析针对小湾拱坝的计算结果表明：考虑库水可压缩性后，将十分明显地降低对拱坝抗震安全性起控制作用的部位的应力反应.具体讲是使中、上部位拱冠梁的梁向拉应力降低达45%左右，拱冠顶拱向拉应力降低达20%以上，这对于评估拱坝抗震安全是有利的，也说明附加质量模型是不合理的，过于夸大了拱坝抗震关键部位的应力反应.以往的众多研究表明地基能量幅射的影响，使得上部拱向拉应力降低达40%左右，梁向拉应力变化不大，本文的研究显示库水可压缩性的影响与地基能量辐射的影响同样重要.由于本文结论是针对小湾拱坝进行分析得到的，作为一般性结论尚有局限性.

参 考 文 献：

[1] Clough R C.The finite element method in plane stress analysis[C].Pro.2nd ASME Conference on Electornic Computation,Pittsburgh,Pa.,1960.

[2] Kuo J S-H. Fliud-structure interaction:Added Mass Computation for incompressible fliudp[R].Report No.UCB/EER-82/09,Earthquake Engineering Research Center,University of California,Berkerly,California,1982.

[3] Ghanaat Y,Clough R W.EADAP enhanced arch dam analysis program,User''s manual[R].Report No.UCB/EER-89/07,Earthquake Engineering Research Center,University of California,Berkeley,California,1989.

[4] Fok K L,Chopra A K.Earthquake analysis of arch dams including dam?water interaction,reservoir boundary absorption and foundation flexibility[J].Earth quake Engineering and Structure Dyanmics,1986,14(2):155-184.

[5] Tan H C,Chopra A K.Earthquake analysis of arch dams including dam-water-foundation rock interaction[J].Earthquake Engineering and Structure Dyanmics,1995,24(11):1453-1474.

[6] Tan H C,Chopra A K.Dam-foundation rock interaction effects in frequency-response function of arch dams[J].Earthquake Engineering and Structure Dyanmics,1995,24(11):1475-1489.

[7] Dominguez J,Maeso O.Eqrthquake analysis of arch dams.Ⅱ Dam?water?foundation interaction[J].J.Eng.Mech.,ASCE,1992,119(3):513?530.

[8] Zhang C H,Jin F,Pekau O.Time domain procedure of FE-BE-IBE coupling of seismic interaction of arch dams and canyons[J].Earthquake Engineering and Structure Dynamics,1995,24(12):1651-1666.

[9] 杜修力，陈厚群，候顺载.拱坝系统三维非线性地震波动分析[J].地震工程与工程振动，1996，16(3).

[10] Du Xiuli,Zhang Yanhong,Zhang Boyan.Nonlinear Seismic Response Analysis of Arch Dam-Foundation Systems[C].Theories and Applications of Structural Engineering,Etited by L.Y.Ye and J.P.Ru,Yunnan Sicence and Technology Press,2000，1-16.

[11] 杜修力，涂劲，陈厚群.有缝拱坝—地基系统非线性地震波动反应分析方法[J].地震工程与工程振动，2000，20(1)：11-20.

[12] 杜修力，王进廷.阻尼弹性结构动力计算的显式差分法[J].工程力学，2000，(17)：37-43.

[13] 王进廷.高混凝土坝—可压缩库水—淤砂—地基系统地震反应分析研究[D].北京：中国水利水电科学研究院，2001.

[14] 廖振鹏，李小军.推广的多次透射边界条件[J].力学学报，1995，27(1)：69-78