等腰三角形存在性问题的解题策略探究

近几年各地的数学中考中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力。它符合课标对学生能力提高的要求。

学生初解此类问题时，一般靠直觉画图，或是主观猜测，往往会出现漏解、错解，甚至在坐标系背景下无从下手等现象。根据笔者对此类问题的研究，现将本考点解题策略整理如下：

一、先弄清一个基本问题的解题方法：已知线段AB，在平面内取一点P，使PAB为等腰三角形。首先，因为没有说明谁为腰，谁为底，因此要分类讨论：

1.如果AB为底，则作AB的垂直平分线，点P一定在AB的垂直平分线上。

2.如果AB为腰，若∠A为顶角，则以点A为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。

3.如果AB为腰，若∠B为顶角，则以点B为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。称这种方法为“两圆一线”，两圆即以两定点为圆心，以定长为半径画的两个圆，具体到实际问题可画出部分弧，一线即给定线段的垂直平分线。即两圆上的点和线段垂直平分线上的点都符合要求，具体到题目中会让在指定范围确定。

二、探索的等腰三角形有一条边是确定位置及长度的，确定第三个顶点的存在（一般会指定位置，如在x轴或y轴或抛物线或某抛物线的对称轴上是否存在点使三角形为等腰三角形）。

例1.如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴。

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。

思路点拨：因为A、C位置确定，采用“两圆一线”找到两圆及一线与l的交点，因本例是在对称轴上确定点，所以不太好确定点的坐标，我们可采用设未知数的方法来求。设未知数的方法有两种：一种是设点的坐标，一种是设某线段的长度。但总之设未知数后都要利用几何条件及图形特征列方程，利用代数方法求解，因为只有通过解方程才能求出设的未知数的值。

三、在所求的等腰三角形中，一个顶点固定，另外两个顶点运动（有运动两点的位置范围，即在哪条线上），确定其中一顶点或两点坐标。

解题策略：由于两个顶点都在运动，用“两圆一线”无从下手，这种问题常见的有两种类型：一是三角形的三边可以用已知或与运动变化相关的量来表示，这一种我们可以利用勾股定理或相似表示边长，再根据两边相等列方程（当然也需分类讨论）。二是“盲解”，即代数方法。这种解法一般分三步：1.罗列三边；2.分类列方程；3.解方程，检验三角形不是所有边长都能用与运动相关的量来表示，那我们就要利用等腰三角形的性质（三线合一、两腰相等等），常过顶点做底边的垂线把底边平分来列方程求解。

例2 如图2，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D。

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当APD是等腰三角形时，求m的值。

思路点拨：

1.用含m的代数式表示APD的三边长，为解等腰三角形做好准备。

2.探求APD是等腰三角形，分三种情况利用边相等列方程求解。

解答：（1）因为PC//DB，所以■=■=■。因此PM=DM，CP=BD=2-m。所以AD=4-m。于是得到点D的坐标为（2，4-m）。

（2）在APD中，AD2=（4-m）2，AP2=m2+4，PD2=（2PM）2=4+4（2-m）2。

①当AP=AD时，（4-m）2=m2+4。解得m=■（如图3）。

②当PA=PD时，m2+4=4+4（2-m）2。解得m=■（如图4）或m=4（不合题意，舍去）。

③当DA=DP时，（4-m）2=4+4（2-m）2。解得m=■（如图5）或m=2（不合题意，舍去）。

综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为■，■或■。

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第（2）题解等腰三角形的问题，其中①②用几何说理的方法，计算更简单：图3，当AP=AD时，AM垂直平分PD，那么PCM∽MBA。所以■=■=■。因此PC=■，m=■。

②如图4，当PA=PD时，P在AD的垂直平分线上。所以DA=2PO。因此4-m=2m。解得m=■。

对于等腰三角形的存在性问题，在存在性上应分类讨论，在解题策略上应恰当选择，综合运用所学知识予以解决。

（作者单位：河南省郑州市第八十中学）