三角形正弦定理解高中数学论文

三角形的三条边和其三个内角称为三角形的六个基本组成元素，当知道其中三个元素（至少有一个元素是边）时，利用一定的定理便可以求解出剩下元素的过程叫做解三角形。三角形分为直角三角形和斜三角形两种：解直角三角形相对而言比较简单，是初中学习解三角形的重点；解斜三角形是当前高中数学教学和学习解三角形章节的重难点，相较于直角三角形解法复杂一些。正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，主要作用是将已知条件中的边、角关系转变为角的关系或者边的关系，这也是历年高考的焦点。本文主要针对正弦定理这一解三角形方法进行阐述。

1正弦定理的概述

正弦定理指的是在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，用公式表示如下：（R为恒量，是该三角形外接圆的半径），正弦定理适用于任何三角形。上述公式还可以变形如下：；；。正弦定理指出了任意三角形的边与其对应角的正弦值之间的一个关系式，简单来说就是任意三角形的边角关系。

在实际应用正弦定理解三角形时主要适用于如下两种情况：一是已知三角形两角与一边，解三角形；二是已知三角形两边及其中一边对应的角，解三角形。正弦定理除了适用于以上两种情况外，利用正弦定理我们可以在次数相等的基础上将三角形所有的边转化为其对角的正弦值或者将对角正弦值转化为其对应的三角形的边；可以得出新的三角形面积公式：；可以在已知三角形两边及其中一边对角的时候，判断满足上述条件的三角形个数。举例说明，已知三角形的两条边a、b和角A，1）若A为锐角：①a=bsinA，一个；②a<bsinA，没有；③bsinA<a<b，两个；④a≥b，一个。2）若A为直角或者钝角：①a≤b，没有；②a>b，一个。

2正弦定理的引入

在教学过程中引入正弦定理是一项重要的工作，这个过程的成功与否直接与学生后期的学习效果相关。具体在引入正弦定理时我们可以采用如下步骤进行：情景设计——数学建模——猜想归纳得出正弦定理。

授课之初可以设定如下的情景：①某日我潜艇A发现其正东有一敌艇B正以35海里/小时的速度向正北方向航行。现已知鱼雷速度为70海里/小时，问A潜艇应以怎样的角度发射才能击中敌艇？②如果其他条件不变，B敌艇的行驶方向变为朝北偏西45°航行，此时我方发射的角度又是多少？情景①学生可以利用初中所学的在直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半轻易解决；情景②则需要进一步研究解决。

设定情景引发起学生的兴趣和猜想之后就要引导学生向数学知识上靠拢，此时要启发学生将要解决的问题通过数学建模的形式化实际问题为数学问题。于是通过数学建模很轻易的知道这个问题就是解三角形的问题。随即引导学生思考能否借助特殊的直角三角形解决一般三角形问题。

引导学生有特例到一般猜想归纳出正弦定理。在直角三角形中我们可以知道任意一条边与其对角正弦值的比是常数，由此可以猜想是否在非直角三角形中也有如此规律。通过在任意锐角三角形和钝角三角形中进行证明，验证正弦定理的普遍适用性。

3正弦定理的应用

在解三角形时，如果能够按照题目结构特点灵活运用正弦定理，可以简便运算，优化计算过程，提高解题的速度，具体的解题类型如下所示：

（1）解三角形问题

课本P4例题1：在三角形ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

【分析】在解答这道题时首要要明确解三角形的含义，解三角形就是根据已知的三角形各要素求剩余要素的过程。在本题中已知三角形的两个角A、B以及边a这三个要素，因此在本题求解的未知要素为角C以及边b、c。

具体求解过程如下：

根据正弦定理；

根据正弦定理.

在本题解答过程中用到了三角形内角和定理和正弦定理。一般来说，解三角形的习题中，三角形内角和定理是普遍应用到的。需要提示的是在解三角形时若最终结果出现两个答案需要对其进一步检验，验证所得的两个答案是否都满足题意，这也是在考试过程中经常出错的地方，学习过程中要提高捕获题干隐含条件的能力。假设最终结果出现两个c，此时要借助三角形固有的三条边之间的关系，以及边角关系，对两个答案分别予以验证，如果都符合则全部留下，否则要放弃不合隐含条件的答案。

（2）实际应用

利用正弦定理解决实际应用问题，本质上是通过将实际问题抽象为数学模型，然后借助相关的数学知识求解的过程，在这个过程中建立数学模型是关键。目前正弦定理的实际应用问题主要解决距离、高度以及航行的问题。本文以测量距离为例予以阐述。

课本P12例题1：如图1.2-1，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51°∠ACB=75°求AB长。

【分析】本题是关于实际生活中测量河两岸点的距离的问题，如果实际解决的话很难找到合适的解决办法，但是在与A同侧设定点C，并借助相关工具测量得知∠BAC、∠ACB度数之后，就将实际距离问题转变成了数学中的解三角问题。在本题中已知两角一边求另外一边的长度，借助正弦定理很容易解决该问题。

具体求解过程如下：

由正弦定理得，

答：A、B两点间的距离为65.7米。

由上面的实际应用正弦定理解三角形例子我们可以知道，在解决实际问题时，首先要学会将实际问题转变为数学问题，然后在计算过程中要善于挖掘隐含条件，利用已知求未知，多角度，多方面思考问题。当在一个三角形中不能达到解决目的时要善于扩大研究范围，根据不同三角形之间的边角关系最终解决问题。

4结论及建议

高中数学中运用正弦定理解三角形是高考的重点也是学生在学习过程中的难点，关于如何更为有效的教与学，还需要更多的教育工作者共同努力。通过本文对高中数学解三角形相关解法的研究针对教学过程提出如下几点建议：

（1）巧妙设定教学情境数学学习在众多学生的心中一直是枯燥乏味的代表，教师在教授过程中应当巧妙设定教学情境，引发学生的兴趣，改变以往数学教与学过程的乏味与被动，提高学生学习的积极性。

（2）重点讲解易错点针对高考热点和重点，对该部分解题的易错点重点讲解和有针对性的联系；

（3）发散思维巧解三角形在教授过程中鼓励学生寻找解决问题的多种方法，一道题能用正弦定理解决的或许也能用其他方法解决，这就需要在不断练习中通过比较各种方法的优劣，提高学生解题技巧。