“小题也需大做”

数学试卷中的解答题我们通常称为大题目,而选择题和填空题在习惯上就被称为小题目,在解决大题目上我们主张“大题大做”,在解题中非常重视解题思维形成的过程,努力揭示问题的实质;但在解小题目时我们为了提高解题效率往往提倡学生采取一些特殊的技巧和手段找出正确答案,这种只重视最终结果的解题方式我们就称为“小题小做”。但很多时候“小题”恰恰浓缩了数学中“精华”,尤其是近几年来高考中选择题和填空题的压轴题通常是高考命题的最大亮点,很有“小题大做”的必要。

(2007年全国高考数学浙江卷理科第16题、文科第17题)已知点O在二面角 α-AB-β的棱上,点P在α内,且∠POB=45°。若β对于内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的大小是______________________

本题以二面角为载体将空间中的角--线线角、线面角和面面角巧妙的融合在一起,蕴含着丰富的数学思想方法,是课堂教学的绝好素材,笔者就曾在高三第一轮复习时和学生一起小题大做了一番。

一、小题小解――意料之中的错误

先尝试让学生自主解答这道题目,几乎所有学生的答案都是90°,这显然在我的意料之中。但标准答案却是一个取值范围 (90°,180°),令人匪夷所思,二面角的大小竟然是一个取值范围。按照通常的理解角度的大小应该是一个确定的值,命题者在题意的描述上或许欠妥当,如果把“大小”改为“取值范围”题意就会更加明了,但从另一方面来讲这也恰恰反映了学生对“小题”缺乏深入思考,没有真正理解题目的实质。那90°的答案是怎么来的呢?

学生:对一般填空题来说它的答案应该是很特殊的,所以先从最特殊的情况开始考虑,显然当二面角α-AB-β为直二面角时,通过初步判断题目中的条件都符合, 90°应该就是正确答案。

学生的回答充分体现了“小题小做”的思想,而特殊值代入是解决选择填空题最常用的方法,显然有其一定的道理,却忽视了符合题目条件答案的多样性,这也是“小题小做”时最容易造成的失误。

二、动手操作――逐渐清晰的真相

本题实际上是一道动态立体几何问题,所求的是二面角的变化范围,对学生的空间想象能力有较高要求。发现解决问题切入点的最好方法是让学生感受二面角的变化,经历直观感知、操作确认的过程,最后发现问题的真相。打开的作业本是二面角的最好模型,如图1所示,在本子的一面画上定直线OP,用一只笔代替直线OQ绕着O点在本子的另一面内旋转,同时改变本子的开口大小,观察笔和直线OP夹角变化的情况。以上实验分小组进行,要求学生分别观察二面角为直角、锐角、钝角时角 的变化情况。

学生甲:通过观察,当二面角由直角变化到钝角的过程中,OQ无论怎么转动,总是恒成立;当二面角从直角变化到锐角时,尽管存在着Q使得∠POQ≥45°,但随着二面角开口的逐渐变小,原本∠POQ≥45°的角也变小了,也就是说一定存在着∠POQ≥45°比∠POQ≥45°小,因此可以猜想当二面角为锐角时∠POQ≥45°不恒成立。

以上的实验已经初步验证了题目的答案,但作为证明是远远不够的,因此要继续引导学生发现事实的真相。

师:解决恒成立问题的一般思想方法是什么?

学生乙:转化为最值问题,也就是说求∠POQ的最小值,只要最小值比45°大就可以了。

师:那∠POQ什么时候最小呢?我们还是先从特殊的情况入手,先考虑直二面角的情景,Q点在什么位置时∠POQ最小,最小为多少,为什么?

学生丙:应该是Q点在直线AB上时最小,最小刚好为45°。如图2所示,此时∠POQ刚好是直线OP和平面β所成的角,根据立体几何最小角定理“斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角”,所以∠POQ最小值为45°,因此无论Q点在平面β上什么位置∠POQ≥45°恒成立。

真相逐渐清晰,解决问题的关键竟然是“立体几何最小角定理”,也就是说本题的切入点是作直线OP在平面β内的射影,找到直线OP和平面β所成的角,然后比较线面所成的角和∠POB的大小就可以判定 ∠POQ≥45°是否恒成立。

师:那么当二面角为锐角和钝角时情景又是怎么样的呢?

学生丁:当二面角为锐角时,如图3所示,若Q点和点P在平面β的射影重合时,根据立体几何最小角定理,此时∠POQ

学生戊:当二面角为钝角时,如图4所示,点P在平面β的射影落在二面角的外面,也就是在平面β的另一个半平面内,点Q不会落在点P在平面β的射影位置,显然当Q点落在AB上时∠POQ最小,因此∠POQ≥45°恒成立。

师:为什么Q点落在AB上时∠POQ最小?

学生戊:不是很显然的吗,看看就知道了。

师:的确很显然,但这能作为严格论证的依据吗?

3.定量计算――解决问题的利器

通过动手操作,观察分析学生已经理解了问题的实质,但数学思维是严谨的,直观的感知并不能代替严格的证明,有时候很直观的结论证明起来却往往大费周章。现在的问题就是当二面角为钝角时,立体几何最小角定理已经不起作用了,那如何证明Q点落在AB上时∠POQ最小呢?当定性的判断不行时我们就应该想到用定量的计算来解决问题。这就需要构造三角形把这些角用对应的线段长度表示出来,然后通过解三角形来比较大小。

如图5所示,过P点在平面β上作直线PR垂直AB,垂足为R,过点R在平面β作直线R垂直AB,交直线OQ为∠POQ,则 ∠POQ就是二面角α-AB-β的平面角。

由余弦定理得