用相对运动趋势分析自行车转弯时向心力的来源

一、问题提出

在匀速转动圆盘上相对圆盘静止的小物体（可以看成质点），做圆周运动所需要的向心力是由静摩擦力提供.分析向心力的来源可以从两个角度分析：一是根据因果关系.由于物体做匀速圆周运动一定有某种力提供向心力.对圆盘上的物体受力分析如图1所示，竖直方向受到重力和支持力，物体与圆盘接触处只能产生弹力和摩擦力，我们找不到其它的力提供向心力，所以只能由静摩擦力提供向心力；二是从静摩擦力产生的条件来判断即接触面粗糙，接触处有弹力，物体相对接触面有相对运动趋势.画出图1的俯视图图2，假设接触面光滑物体将沿着切线方向飞出做离心运动，在Δt时间内物体运动的路程为sBC=v×Δt.物体做离心运动前相对圆盘上静止的B点（即提供竖直弹力的点），在Δt时间内运动到A点，此时B点通过的弧长为sAB=v×Δt，当Δt0时sAB=sBC，物体相对于转盘上的点有沿着半径向外运动的趋势.也可以将物体的速度与Δt时间后物体下面对应点的速度相减，求出B点相对物体的速度Δv，矢量如图2中所示，当Δt0时Δv的方向是指向圆心的.我们可以从相对运动趋势的角度来解释匀速转动圆盘上的物体所受的静摩擦力是指向圆心的.我们用上文提到的因果关系来分析自行车匀速转弯时的向心力来源.假设地面光滑，自行车是无法转弯的，地面光滑与不光滑的区别就是是否有静摩擦力，只有地面不光滑骑自行车才可以安全转弯.所以，自行车匀速转弯时是由地面与自行车轮胎之间的静摩擦力提供向心力.如果从静摩擦力产生条件自行车与地面之间的相对运动趋势如何解释静摩擦力指向圆心呢？笔者查询的了中国知网没有找到从相对运动趋势角度来分析自行车转弯时静摩擦力指向圆心的相关文献，所以撰文加以阐述.

二、用相对运动趋势分析自行车转弯时静摩擦力提供向心力

1.自行车做直线运动时前轮与后轮受到的静摩擦力分析

对后轮受力分析假设地面光滑，等效为后轮胎转动起来（因为人在骑车相当于后轮在冰面上打滑）.自行车后轮胎上的B点与地面上的A点在后车轮转动之前相对静止，自行车后轮顺时针转动，经Δt时间后轮胎上的B点转动到C点位置，B点相对于地面上A点来说有沿地面向后运动趋势，可以推出在接触面处地面产生一个阻碍相对运动趋势向前的静摩擦力.而前轮是从动轮，假设接触面光滑，等效为前轮胎刹车不转动，自行车架等效给前轮一向前的推力F（等效反作用力作用在后轮上为F′）推着前轮胎上的D点（轮胎与地面上的E点接触）.由于F的作用前轮胎上的D点将滑动到F点，所以前轮有沿着地面向前运动的趋势，前轮受到的向后静摩擦力推动前轮顺时针转动.因为F和F′是车架与前后轮之间的等效作用力，根据牛顿第三定律可知F+F′=0，不可考虑空气阻力，由牛顿第二定律可得f1-f2=ma决定自行车加速度的根本原因就是f1与f2的大小.对前后轮受力分析如图4，由转动平衡条件可得，对后轮：M-N1Δx-f1R=0，对前轮N2Δx-f2R=0，其中N1Δx与N2Δx分别为滚动摩擦力矩.从图4中可以看到后轮的摩擦力力矩f1R对后轮是阻力矩，而前轮受到的摩擦力矩f2R是动力矩.由于自行车的实际运动过程中车轮做的是转动而车架和人做的是平动，研究自行车转弯问题时要建立刚体模型来分析.

2.自行车匀速转弯过程中前轮和后轮受到的静摩擦力分析

自行车在转弯时骑车人通过双手对车把施加一个力矩，使前轮转弯在水平面内相对原来的速度方向形成一定的角度如图5所示（图5俯视图）.由于前车轮的受到的静摩擦力f2与前车轮抽平动速度方向相反，此时车架对前尺轮竖直转轴的作用力F沿着车架直线与车架的速度v方向相同（前轮轴平动的速度在车架方向的分速度小于车架原来的速度V车架必然对前车轮竖直转轴形成一个比原来更大向前的挤压力F）.此时F与f2的合力方向大致如图5中F1所示，前轮与地面接触点相对地面的速度是零，接触点相对地面产生沿着合力F1方向运动的趋势，地面产生一个阻碍这个相对运动趋势与F1反方向的静摩擦力f3，如果此时前轮匀速转弯则有f3-F1=mv2/r1，f3的方向与前轮速度方向垂直.

由于前车轮转弯造成前轮和后轮都与地面产生一定的倾斜角度.对后轮在竖直面内受力分析，弹力N垂直地面，重力竖直向下.假设接触面光滑则后轮会有向圆心方向侧向滑倒的趋势，后轮与地面的接触点有沿着地面远离圆心的运动趋势，所以地面阻碍相对运动趋势也产生一个严半径指向圆心的静摩