巧用公式妙解题

广西宾阳县宾州镇第一初级中学 530400

我们学习了乘法的完全平方公式：（a±b）2= a2±2ab+ b2，知道利用这个公式可以使多项式乘法计算简便。但在计算时，初学者会受到公式（ab）n=anbn的影响，容易漏掉 的项，错误写成（a±b）2= a2+ b2。这主要原因是不明确公式的意义。

如何避免类似错误的发生？作为初学者，我们要真正弄清多项式（a+b）2与（a-b）2的乘法意义是：

（a+b）2=（a+b）（a+b）

=a2+ab+ab+b2

= a2+2ab+b2

（a-b）2=（a-b）（a-b）

= a2-ab-ab-b2

= a2-2ab-b2

从计算过程可知，2ab =ab +ab，-2ab=-ab-ab，这两个项不是可有可无的，它是结果中必不可少的项。因此，在直接套用公式时，必定有“加上（或减去）它们的积的2倍”这一项。在应用完全公式时，我们要注意到，在完全平方公式中，含有四个整体项，即：a+b、a-b、ab、a2+b2，在给定条件下，可以把四个整体项中任何两项作为已知，求出其余的两个整体项，例如：

例1：已知：a+b=2，ab=-1，求a2+b2、a-b的值。

解：（a+b）2=a2+2ab+b2

a2+b2=（a+b）2-2ab=22-2×（-1）=6

（a-b）2=a2+b2-2ab=（ a2+b2）-4ab=22-4（-1）=8

a-b=22或a-b=-22

a+b=5，a2+b2=13，求ab、a-b a-b

解：（a+b）2= a2+2ab+b2

ab=12[（a+b）2-（ a2+b2）]

=12（52-13）

=6

同理，（a-b）2=a2-2ab+b2=13-2×6+1

a-b=1或a-b=-1

再有，当a、b互为倒数时，ab=1。由完全平方公式可得：（a±1a）= a2+1a2±2。这时，公式中只有三含字母的个整体项，即：a+1a、a-1a、a2+1a2。只要已知其中一个整体项的值，便可求出其余2个整体项的值。例如：

例1：已知：x+1x=3，求x21x2，x41x4的值。

解：（x+1x）2=x2+2x1x+1x2= x2+2+ 1x2

x21x2=（x+1x）2-2=32-2=7

同理，x4+1x4=（x2+1x2）2-2=72-2=47

例2：已知：m2+1m2，求m+1m和m-1m的值。

解：（m+1m）2=m2+1m2+2=2+2=4

m+1m=2或m+1m=-2

同理，（m-1m）2=m2+1m2-2=2-2=0

m-1m=0

为了提高运算速度与准确率，需要熟练掌握公式的使用方法，因此，在解题过程中，我们应注重总结公式等号两边的特点，用文字语言表达公式的内容，真正领会和感悟公式内涵及应用要注意细节，通过逐层深入的练习，巩固完全平方公式的应用。