第四招:乾坤挪移

乍看不起眼的“运算”是不少同学的“弱项”,运算错误则是试卷上的“硬伤”.多年解题经验告诉我们:运算的基本要求是“算则对”,发展要求是“少算且对”,最高境界是“不算而对”.如何在“算对”的基础上“少算”甚至“不算”?且看“算对有招”之――

高考中涉及到的含参不等式或方程通常由一个“主元”和一个“参数”构成.由于解题中往往需要对参数进行分类讨论,容易出现分类混乱、遗漏等问题. 这种情况下可以尝试进行变量分离,或将“参数”与“主元”角色互换――是谓“乾坤挪移”.

例1已知方程sin2x+sinx+a=0有解,求实数a的取值范围.

常规解法: 记sinx=t(-1≤t≤1),则关于t的方程t2+t+a=0在[-1,1]上有解. 令f(t)=t2+t+a=t+2+a-,则:

(1) 当方程f(t)=0的一根为-1时,解得a=0,此时方程的另一根为0,满足“f(t)=0在[-1,1]上有解”的条件;

(2) 当方程f(t)=0的一根为1时,解得a=-2,此时方程的另一根为-2,满足条件;

(3) 当方程f(t)=0在(-1,1)上有两个不等的实根时,有Δ=1-4a>0,f(-1)=a>0,f(1)=2+a>0,解得0

(4) 当方程f(t)=0有两个相等的实根时,Δ=1-4a=0,解得a=. 代入方程得t=-,满足“f(t)=0在[-1,1]上有解”的条件;

(5) 当方程f(t)=0有两个实根,其中恰有一根在(-1,1)上时,则Δ=1-4a>0,f(-1)•f(1)

综上所述,所求a的取值范围是-2,.

“乾坤挪移”: 分离变量,得a=-sin2x-sinx. 记sinx=t(-1≤t≤1),则“方程sin2x+sinx+a=0有解”等价于“函数y=a与f(t)=-t2-t (-1≤t≤1)的图象有交点”(如图1所示),易知函数y=f(t)在[-1,1]上的值域为-2,,则a的取值范围是-2,.

评析: 例1常规解法中的分类情形可以适当合并,但分类讨论仍是必需的. 也可通过求解使“方程sin2x+sinx+a=0无解”的a的取值范围来间接得到所求范围,但解题过程也比较复杂.通过“乾坤挪移”把参数a移到方程的另一边,把“一个方程有解”的问题变成“两个函数图象有交点”的问题,简化了解题过程,不易出错.

例2若不等式x2-2ax+3a≥0当a∈[-1,1]时恒成立,求实数x的取值范围.

“乾坤挪移”: 题目要求实数x的取值范围,我们不妨把a视为主元,记g(a)=(3-2x)a+x2,这样一来,“抛物线”变成了“线段”. 要使g(a)≥0恒成立,只需g(-1)≥0,g(1)≥0,也即x2+2x-3≥0,x2-2x+3≥0,解得实数x的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).

“乾坤挪移”出招要旨: 高考中适用本招的情形通常有以下两种:

(1) 含“有解”“解的个数”的问题,可以考虑变量分离,把“主元”与“参数”分别移到方程的两边. 注意分离变量必须彻底(如方程ax2-x+a=0应分离为a=,而不是ax2-x=-a),然后按照“分离变量设定函数绘制图象考察交点”的步骤进行.

(2) 给出参数范围要求自变量范围的问题,可以考虑变换“主元”.

这两种方法的本质是对“主元”和“参数”一视同仁,根据题目特征予以变换或分离,转化问题,从源头上改变解题路径,减少运算回路.鉴于含参问题在中学数学中的重要地位,本招适用面虽不广,但适用的题目特征很明显,一旦“出招”,效果不可小觑.