几道数列题的错解的剖析、应用和结论

“转化”思想是数学的核心思想之一，转化的关键是等价，而利用充分必要条件，则是判断转化是否等价的有力武器。下面笔者就几道数列题的错解进行剖析并做些反思。

一、题目、错解和剖析

题目1：已知等差数列{an}中，a3=12，S12>0，S13

错解：（1）S12=■=6（a1+a12）=6（a6+a7）>0，

S13=■=13a7

a6>0，a70且a1+6d

a3=a1+2d=12，a1=12-2d。

（12-2d）+5d>0（12-2d）+6d

（2）（略。）

剖析：由6（a6+a7）>0，13a70，a70，a70，13a70，a70，13a7

正解（略解）：由6（a6+a7）>0，13a70，a3+4d

解惑：上述正解中的转化是等价的，即6（a6+a7）>0，13a70，a3+4d

题目2：若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1且满足an=■（n=3，4...）。（1）求c的值；（2）求数列{an}的前n项和Sn。

错解：（1）因为当n≥3时，an=■，所以将前三项1，c，c2代入得c2=■，得c=1或c=-■。

（2）（略。）

剖析：a3=■是an=■成立的必要不充分条件，有出现增根的可能，在解答的过程中，需要补上验证这一环节。

二、应用

例题：已知数列{an}的前n项之和Sn与an满足关系式：nSn+1=（n+2）Sn+an+2（n∈N*）。（1）若a1=0，求a2，a3的值；（2）求证：a1=0是数列{an}为等差数列的充要条件。

剖析：必要性是指{an}为等差数列？圯a1=0；充分性是指a1=0？圯{an}为等差数列。

略解：（1）由nSn+1=（n+2）Sn+an+2（n∈N*）......（*）

n（Sn+1-Sn）=2Sn+an+2，

变形为n（Sn+1-Sn）=2Sn+an+2，而Sn是{an}前n项和，

于是有nan+1=2Sn+an+2，a1=0，在n=1时，a2=2a1+a1+2=2，

则a2=2，在n=2，2a3=2（a1+a2）+a2+2=4+4=8，则a3=4。

（2）必要性：由（1）可知nan+1=2Sn+an+2恒成立，则（n-1）an-1=2Sn-1+an-1+2（n≥2）......（**）

若{an}是等差数列，则an-an-1=d（n≥2），且an=a1+（n-1）d.（*）-（**）式得：

n（an+1-an）=2an-an-1，nd=an+d=a1+（n-1）d+d，a1=0。从而必要性得证。

充分性：由（1）可猜测到：an=2n-2。下面先用数学归纳法证明：an=2n-2。

①在n=1时，a1=2×1-2=0与已知a1=0一致，故n=1时，an=2n-2成立。

②假设n≤k时，an=2n-2成立，ak+1

Sk=a1+a2+…+ak=0+2+4+...+2（k-1）=k（k-1）

（*）式nan+1=2Sn+an+2恒成立，kak+1=2Sk+ak+2

则kak+1=2Sk+ak+2=2k（k-1）+（2k-2）+2=2k2，

ak+1=2k=2[（k+1）-1]。

故n=k+1时，an=2n-2成立，综合①②可知：an=2n-2成立对n∈N*恒成立。

数列{an}的通项为an=2n-2，an-an-1=2（n≥2，n∈N*）

由等差数列定义可知{an}是等差数列，从而充分性得证。

综合以上得：a1=0是数列{an}为等差数列的充要条件。

三、结论

结论1：在等差数列{an}中，前n项和为Sn。（1）等差数列{an}？圳an+1-an=d（d为常数）；（2）等差数列{an}？圳an=kn+c；（3）等差数列{an}？圳an=■（n≥2）；（4）等差数列{an}？圳Sn=■；（5）等差数列{an}？圳Sn=An2+Bn；（6）等差数列{an}？圳数列{■}是等差数列。

结论2：（1）三角形ABC的三内角A、B、C成等差数列？圳B=■；（2）一个数列既是等差数列又是等比数列？圳an=k（k为常数）；（3）a、b、c是等比数列（a，b，c>0）？圳lga、lgb、lgc成等差数列。