例析“数形结合”思想在二次函数中的应用

摘 要： 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。本文通过例题分析了数形结合思想在二次函数中的应用。

关键词： 数形结合思想 二次函数 应用

一、引言

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语）.数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入.一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示.另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论.这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简洁明快，而且可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径.因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”.而课堂教学中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法，有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，营造愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学.

“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体.正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致.“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位.关于这一点，只要翻阅近年高考试卷，就可见一斑.在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，同时“数形结合”思想在二次函数中的应用是中、高考命题的一个热点，也是平时学次函数解决应用问题的一个重点.巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍.

二、从“数”到“形”的思想应用

例1.已知方程|x-4x+3|=m有4个根，则实数m的取值范围.

【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决.

解：方程|x-4x+3|=m根的个数问题就是函数y=|x-4x+3|与函数y=m图像的交点的个数.

作出抛物线y=x-4x+3的图像，将x轴下方的图像沿x轴翻折上去，得到y=|x-4x+3|的图像，再作直线y=m，如图所示.由图像可以看出，当0＜m＜1时，两函数图像有4个交点，故m的取值范围是（0，1）.

例2.确定函数y=x|x|-2|x|的单调区间.

解：y=x|x|-2|x|=x-2x，x≥0-x+2x，x＜0

作出函数的图像，由图像可知，函数的单调递增区间为（-∞，0］和［1，＋∞），函数的单调递减区间为［0，1］.

评注：数形结合可用于解决二次函数方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图像是解决这类问题的关键.

三、从“形”到“数”的思想应用

例3.如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B（8，9），则这个二次函数的表达式为?摇?摇 ?摇?摇，小孩将球抛出了约?摇?摇 ?摇?摇米（精确到0.1m）.

解：由题意和图像可设y=a（x-8）+9，将点A（0，1）代入，得a=，

y=-（x-8）+9=-x+2x+1.

令y=0，得-（x-8）+9=0，

解之得x=8±6，

即C（8+6，0），OC=8+6≈16.5（米）.

评注：从“形”到“数”的问题时，应注意观察函数图像的形状特征，充分挖掘图像的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的性质来解.

四、“数形结合”思想的综合应用

例4.市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克.由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如下图所示的一次函数关系式.

（1）试求出y与x的函数关系式；

（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围.

解：（1）设y=kx+b，由图像可知，

30k+b=40040k+b=200，解得k=-20b=1000，

即一次函数表达式为y=-20x+1000（30≤x≤50）.

（2）p=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x+1400x-20000

a=-20＜0，

P有最大值.

当x==35时，P=4500（元）.

（或通过配方，P=-20（x-35）+4500，也可求得最大值）

答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元.

（3）4180≤-20（x-35）+4500≤4480

1≤（x-35）≤16

31≤x≤34或36≤x≤39.

评注：在解决二次函数问题时，要注意“由数想形，以形助数”的方法，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题.

五、结语

在学次函数中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”.

在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则.当然在学习渗透数形结合的思想时，还应掌握以下几点.

1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系.

2.正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系.

3.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图.

参考文献：

［1］姚立新.数形结合的数学思想方法在解题中的应用［J］，2005，1.

［2］蔡东兴.数形结合思想方法的应用［J］.中学数学教与学，2009，2.

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