基于因子模型的指数跟踪研究综述

【摘要】指数跟踪研究是资本市场研究领域中的重要组成部分。目前国内对于相关理论的研究仍处于起步阶段，把因子模型与指数跟踪结合在一起进行全面系统研究的更是很少。本文以指数跟踪为主要线索，以因子模型为重点，对既有文献进行回顾整理，以期为进一步研究打下基础。

【关键词】指数跟踪；跟踪误差；因子模型

一、国外相关文献

1.基于均值一方差模型的研究

均值一方差指数跟踪模型就是采用Markowitz提出的均值一方差模型对指数跟踪问题进行研究，权衡跟踪组合的期望收益与跟踪误差。Hodges（1976）对标准的Markowitz优化模型的权衡曲线与超过目标指数收益及其方差的权衡曲线进行了比较。Perold（1984）指出指数跟踪可以用均值一方差模型，他将指数跟踪定义为寻找收益尽可能接近基准指数收益的证券组合。Haugen和Baker（1990）研究了指数跟踪中运用均值一方差模型的问题。他们认为通过考虑跟踪组合与目标指数收益的相互关系，可以用三种方法（贝塔值，决定系数，波动性）测度跟踪组合的跟踪能力。Roll（1992）通过引入了现资组合理论中较为经典的构建EV（均值―方差）模型的研究方法对指数化投资中典型的跟踪误差最小化模型做相应的研究，并将研究结果和现资组合理论中最优EV模型做了比较。Franks（1992）研究了基于基准组合的跟踪时采用均值一方差模型的问题，表明通过最小化跟踪误差可以以低风险取得相近于基准组合的收益。Rohweder:（1998）以跟踪误差最优化为目标，提出了目标函数中有交易成本约束的均值一方差模型跟踪指数，他指出了采取消极的指数跟踪策略的合理性。Wang（1999）以均值一方差模型为框架研究了既最小化交易成本又最小化跟踪误差等的多目标指数跟踪问题。

用均值一方差模型研究指数跟踪可以得到比较完美的解析解，但该模型有非常强的假设且仅考虑了收益的前二阶矩，对可赎回债券，抵押债券等不具有对称收益证券的指数跟踪无能为力。

2.基于因子模型的研究

最早用因子模型对指数跟踪问题进行研究的是Rudd（1980），他将交易成本考虑到因子模型的目标函数中，用单因子模型给出了一个简单的指数跟踪结构模式，结果他指出跟踪组合与目标指数高度相关。Stock and Watson（1988）认为因子序列是纯随机游走的。Larsen和Resnick（1998）指出小盘股的跟踪组合比大盘股跟踪组合有更大的跟踪误差标准差，并认为决定跟踪组合的跟踪业绩的不是构成跟踪组合的成分证券的行业而是市值。Forni等（2000），Stock and Watson（2002），假定因子序列是平稳的，但排除单整的情况，这种假定太过严格.Corielli和Marcellino（2002）则基于动态因子模型考虑了指数成分证券动态变化的特征，通过最小化损失函数的方法来解决跟踪组合的最优化问题。Frino等（2002）通过对影响跟踪误差的要素进行多因子回归分析，研究了澳大利亚指数基金的跟踪能力和跟踪误差的影响因素。进一步，Frino等（2004）通过多因子回归分析，研究了不同跟踪误差度量方法对指数跟踪业绩的影响。而Bamberg和Wagner（2000）研究了最优跟踪组合的求解中运用线性回归法的问题，结果发现古典线性回归最小二乘法的一些经典假设就此线性回归模型并不成立，但他们认为这不影响求解最优化指数跟踪问题中对该回归方法的应用，并提出最小二乘法的假设限制可采用鲁棒性回归法来避开。Bai和Ng（2004），不仅考虑了因子序列的平稳性，还考虑了单整的情况。

指数跟踪的因子模型的解释能力随着因子的增加而增强，但因子模型要求对因子进行识别，其难处在于无法识别所有的相关因子，也不能明确地给出因子的个数.Forni等（2000）建议用解释价格方差的百分比来决定因子的数量，Stock and Watson（2002）建议先用一个大的因子数量，然后再根据一定的信息标准选择因子的数量；Bai and Ng（2002）提出了一个多元信息标准来选择因子数量，并说明了当样本规模足够大时，该方法表现良好；Francesco Corielli and Massimiliano Marcellino（2006）借鉴Forni等（2000）的建议用解释价格方差的百分比来决定因子的数量，建立长期因子的复制组合，并对基于因子模型的指数跟踪与最小二乘法的指数跟踪进行蒙特卡罗模拟实证对比分析，得出了基于因子模型的指数跟踪更优的结论。

国外相关研究尽管把因子模型与指数跟踪相结合，但是他们同时考虑指数跟踪的实际约束，考虑各种跟踪误差模型的对比研究也较少。

3.指数跟踪的均值一绝对偏差模型的研究

除基于因子模型的线性指数跟踪模型外，还有其他线性指数跟踪模型。Worzel和Zeniou（1994）提出了一种线性模型来跟踪固定收益证券指数，即均值一绝对偏差模型来最优化跟踪组合。他们认为要尽可能好地跟踪指数可以通过最小化向下风险而不是最大化收益。Markus Rudolf，Hans-Jurgen Wolter，Heinz Zimmermann（1999）把跟踪误差定义为投资组合收益率与基准投资组合收益率之间的差值，并提出了四个线性的跟踪误差最小化模型，即最小最大化（MinMax）模型、向下最小最大化（Downside MinMax）模型、均值绝对偏差（Mean Absolute Deviation，MAD）模型、向下均值绝对偏差（Mean Absolute Downside Deviation，MADD）模型。同时，作者利用真实数据对四种线性模型和Roll的二次型模型进行了对比。结果表明，线性规划模型优于二次规划模型，这为跟踪误差的计量方法提供了另一种思路。Consiglio和Zenios（2001）采用Worzel和Zeniou提出的均值一绝对偏差模型研究了债券指数跟踪问题。

4.指数跟踪的其他优化算法的研究

在以上指数跟踪优化模型和优化方法的基础上，一些学者还采用了相对更为复杂的方法来研究优化跟踪组合的问题。Meade和Salkin（1989）为使跟踪组合与目标指数具有相似的特征对跟踪组合进行约束，并采用二次规划方法对跟踪误差进行近似求解。进一步，Meade和Salkin（1990）假设目标指数收益满足自回归条件异方差过程，考察了指数跟踪问题。Baestaens等（1995）和Zorin等（2002）研究了指数跟踪中采用神经网络算法进行优化的技术。Eddelbuttel和Marseilles（1996）则对寻找最优跟踪组合时采用混合遗传算法进行了研究。此外，Gilli等（2001）对交易成本有门槛值的指数跟踪采用启发式算法进行了研究。进一步，Beasley等（2003）采用启发式算法对交易费用约束情况下的指数跟踪技术进行了研究，详细论述了如何将指数化投资中的组合创建及平衡问题转化为最优规划问题，并介绍了如何利用遗传算法求解规划求解问题中的全局最优解。Pre等（2002）采用随机控制和顺向优化法对指数跟踪的优化问题进行求解。Yao等（2003）采用随机线性二次控制法和半定规划法对指数跟踪进行优化求解。

二、国内相关文献

1.关于指数跟踪的研究

高用深等（2000）介绍了管理指数基金的跟踪组合的相关内容：包括构建初始证券组合；现金红利收入再投资等。严武等（2000）对指数基金完全复制法、优化选样法和分层抽样法进行了介绍。马永开和唐小我（2001）对在市场无摩擦的假定条件下，假定投资管理者的证券组合和目标证券组合各自拥有自己的投资对象集，给出了一般情况下的基于跟踪误差的证券组合投资决策模型和模型的最优解，研究了对应最优投资策略的有效性和相对有效性，并对此最优投资策略进行了结构分析。此外，陈辰等（2001）提出了一种利用聚类分析和MTV模型以不完全复制构成资产组合去逼近市场综合指数的方法，从上海股票市场中任意选取50种股票，并使用本方法抽取不超出10种股票，用它们的组合去跟踪上证综合指数，取得了比较满意的跟踪效果。倪苏云等（2001）介绍了四种线性跟踪误差最小化模型，并建立了相应的线性规划模型，并将其与非线性模型进行了比较，指出了线性跟踪误差最小化模型所具有的优点。张玲（2002）将ETFs的跟踪误差分解为净值跟踪误差和价格一指数跟踪误差，并提出了跟踪误差的测算方法。陈立新等（2002）研究了如何减少投资组合跟踪指数的误差。刘柏清等（2002）把随机脉冲控制理论运用于均值一方差模式下指数跟踪的现金管理问题，他考虑回报率与现金比重变化的关系，讨论了证券指数跟踪最优化问题，得出了何种条件下可用简单脉冲控制策略。范龙振等（2002）运用主成分分析法得出上海和深圳股票市场的综合指数和A股指数可以反应各自市场的变化，而其他指数对各自代表的股票市场变化不能反映。他们指出利用多因子定价模型，结合优化方法和统计分析，从每个股票市场上选取20只左右股票，经过组合就可以得到与指数相近的收益。林飞（2003）在其博士论文“指数化投资理论方法及实证研究”中，在借鉴国外有关研究成果的基础上进行了创新，并结合我国证券市场的实际情况，运用了包含统计抽样、相关分析、回归分析、聚类分析、时间序列分析等统计方法和其它量化科学的若干研究方法，对标准型指数基金的指数化投资管理中涉及的主要理论、方法及相关实际问题做深入的理论探讨与实证分析。马骥、邓清（2004）在“指数基金与跟踪误差优化模型”一文中，研究了跟踪误差最小化的两种模型：二次优化模型和线性优化模型。并认为线性跟踪误差模型能够更加准确地体现投资者对待风险的态度和定位于特定目标。因此，在实践中应该采用绝对偏差最小化来取代偏差的平方最小化的方法。马骥（2004）在“跟踪误差的风险分析”一文中，为了明确指数基金所面临风险的大小以及风险的来源，采用回归模型、相关系数和多因素模型对跟踪误差的方差进行分析，给出并且证明跟踪误差方差分解的一般表达式。此外，陈绍胜（2005）在“指数型基金跟踪误差的实证分析”一文中，基于跟踪误差对于我国部分基金进行了一定程度的实证分析，指出在我国金融市场中，指数基金往往会因为标的指数成份股数量不同而产生很大差异，标的指数成份股越多，相对应指数基金的跟踪误差就越大；复制型基金完全复制策略下的跟踪误差要比增强型指数基金非完全复制策略下的跟踪误差要小；大额申购与赎回对指数基金跟踪误差产生明显影响。因此，指数型基金投资组合的构建应坚持被动投资，而力避主动投资。范旭东（2006）主要研究在跟踪误差约束条件下的指数化投资组合的构建与管理，其基本思路是在引进跟踪误差的概念后，详细阐述了在跟踪误差约束条件下的优化指数投资组合的构建与管理，包括初始投资组合的构建以及对投资组合进行的动态调整。李俭富（2006）以市场有效理论和现代组合投资理论基础，以数理统计和计量经济为技术手段，运用多门经济管理学科的知识，针对已有指数跟踪管理问题研究的不足，结合当前我国证券投资基金指数化投资的实际情况，对指数跟踪管理问题进行较全面的梳理和深入的研究，发展和完善了指数跟踪管理方法，为我国证券投资基金的指数跟踪管理提供了方法上的准备。张帆（2007）主要应用固定跟踪误差优化模型来构建一个动态的增强型指数基金，并考虑到我国现实状况，加入卖空限制条件进一步研究构建组合的变化情况。

但国内关于指数跟踪研究以收益率层面的跟踪误差最小化为目标的居多，以价格层面的跟踪误差最小化为目标的较少；指数价值直接从数据库引用的居多，考虑指数的权重信息而重新计算的较少。

2.关于因素模型的研究

国内把因素模型与指数跟踪直接联系起来的很少，大都是把因素模型应用于投资组合的研究，如张卫国（1998）研究了证券收益率由多因素产生的证券组合投资优化问题，建立了不同投资约束条件下直接确定有效证券组合的模型，并给出了算法.李颖等（2002）通过对多因素模型在投资管理领域中的应用研究，揭示了多因素模型在风险控制、收益预测、指数化组合构建、投资策略选择等投资领域具有较广泛的应用前景。李博（2003）用单因素模型和四因素模型进行实证研究得出，平均流通市值的自然对数和平均短期历史收益率对股票组合收益率的解释能力高。陈守东等（2003）针对上证180指数样本股和深证100指数样本股以及二者之和分别建立了FF多因子模型，并进行了检验和比较分析。使用的方法是最小二乘法和广义距估计方法（GMM）。结果表明FF多因子模型对于中国股市是基本适用的。王秀国，邱菀华（2006）研究了积极投资组合更一般的风险收益关系，提出了传统跟踪误差模型和均值方差模型的统一形式。宿成建（2006）实证结果显示：多因素模型能有效地找出股票定价的关键因素，而三因素模型能够对资产价格主要因素进行定价。

三、简评

指数跟踪问题的研究是不断发展的，从简单的跟踪误差最小化到考虑跟踪组合收益以及各种跟踪约束，从跟踪误差的定义到对产生跟踪误差的各个因数进行分解。指数跟踪的模型、约束条件和算法也开始从简单逐渐复杂化。采用新的数量化方法研究指数跟踪，多阶段和动态指数跟踪，积极指数跟踪等都成为研究指数跟踪问题的发展方向。

总体上说，相比国外而言，目前国内对于相关理论的研究仍处于起步阶段，并具有一定的滞后性，进行全面系统研究的较少；以收益率层面的跟踪误差最小化为目标的居多，以价格层面的跟踪误差最小化为目标的较少；指数价值直接从数据库引用的居多，考虑指数的权重信息的较少；考虑股价的动态因子模型，将因子模型与指数跟踪直接结合的也很少。国外相关研究尽管把因子模型与指数跟踪相结合，但是他们同时考虑指数跟踪的实际约束，考虑各种跟踪误差模型的对比研究也较少。

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作者简介：

刘建和，博士，浙江财经学院金融学院副教授，主要从事证券市场方面的研究工作。

方庆松，浙江财经学院金融学院硕士，主要从事指数基金方面的研究工作。

陈柯亦，硕士，厦门国库统一支付中心经济师。