在《圆锥曲线》教学中对学生思维能力的培养

摘要：数学教学一方面要传授数学知识，使学生具备数学基础知识；另一方面，通过数学知识的传授，能培养学生能力、发展学生智力。而在诸多能力中，思维能力是核心。

关键词：思维能力；培养；辩证；观察发现；归纳类比；运算能力；探索能力

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）13-0054

在《数学课程标准》中明确提出：数学教学要注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。

那么，在数学课堂教学中应当如何贯彻新课程标准的要求，更加有效地培养学生的数学思维能力呢？在此，笔者结合本学期的教学实际，谈一谈在《圆锥曲线》教学中培养学生思维能力的认识与体会。

一、辩证思维能力的培养

所谓辩证思维，就是用运动、联系、发展的观点和方法去思考问题，用辩证法来揭示事物的本质，这种思维方法能更加深入地研究问题，它是思维发展的高级阶段，是辩证法在中学数学中的主动体现。在教学中指导学生运用辩证的思想探索、研究问题对于完善学生的思维结构，优化思维品质，提高智能都具有十分重要的作用。

案例1：已知圆M的方程为x2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B。求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。

分析：本题可以将研究曲线过定点问题，转化成等式恒成立，发现量与量之间的关系来求解。

解：设P（2m，m），MP的中点Q（m，■+1），因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以为Q圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：（x-m）2+（y-■-1）2=m2+（■-1）2，化简得：x2+y2-2y-m（x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y2-2y=0x+y-2=0，解得x=0y=2或x=1y=1，所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（1，1）。

总结：运动是物质固有属性，是永恒的、绝对的，而静止是暂时的、相对的。在解题教学中，善于利用“相对静止”去研究“绝对运动”或从错综复杂的运动变化中抓住静止的瞬间去发现量与量间的关系，认识动中有静， 静中有动的运动变化的辩证法。

二、直观感知、观察发现能力的培养

观察，从数学上来说，就是有意识地对事物的数和形的特点进行一番直觉上的认识。数学中的观察即审题，是解题中首先进行的直觉思维活动，其目的是明确问题的已知条件和求解目标，它是分析与联想的基础。在数学教学中，培养学生勤于观察、善于观察的习惯，对培养学生的直觉思维是十分重要的。有时题目的解决就是通过观察题目的数形特征，已知的隐含条件或等价形式，问题本身的结构特点，从而找到解决问题的突破口。

案例2：已知点P（x，y）到定点F（c，0）的距离与到定直线l∶x=■的距离之比是常数■（a>c>0），求点P的轨迹。

解：由题意可得■=■， 化简得（a2-c2）x2+a2y2=

a2（a2-c2）。令a2-c2=b2，则上式可以化为■+■=1（a>b>0），这是椭圆的标准方程。所以点P的轨迹是焦点为（c，0），（-c，0），长轴长、短轴长分别为2a、2b的椭圆。接着利用《几何画板》软件验证结论，将条件a>c>0改为0

三、归纳、类比能力的培养

类比推理是一种创造性的思维活动，随着新课标的实施，创新意识和创新能力是新的教材所特别强调的，在学习过程中，让学生独立思考、自主探索、培养创新意识是当务之急。而类比思维不仅能够帮助我们猜测和发现结论，而且常能帮助我们寻找解题思路。数学家欧拉说过：“类比是伟大的引路人”。在解决某些数学问题时，若能合理地运用“类比”，对数学学习是十分有益的。

案例3：我们在学习圆锥曲线知识时，常提到焦半径公式：已知P（x0，y0）是椭圆■+■=1上一点。F1、F2是椭圆的两个焦点，则有|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；类比思考之后，你能得出双曲线和抛物线类似的结论吗？

事实上：在双曲线■-■=1中，有|PF1|=|ex0+a|，|PF2|=|ex0-a|；①若P在双曲线左支，则|PF1|=-（ex0+a），|PF2|=-|ex0-a|；②若P在双曲线右支，则|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a。在抛物线y2=2px中，有|PF|=x0+■；在抛物线y2=-2px中，有|PF|=-■-x0。对于焦点在y轴的标准方程，可相应地将x0换成y0即可得出公式。

点评：类比思维的确是创造性思维的一种形式，有时你可以从一种研究对象的结论出发。通过类比得出另一种研究对象的许多意想不到的结论。创造的喜悦难以想象。教育家瓦赫捷罗夫说得好：“类比像闪电一样，可以照亮学生所学学科的黑暗角落。”在教学中，通过类比思维，在类比中既有模仿又有创新，可以使教师简化教学，活跃课堂气氛，使学生加深对知识的理解，增强记忆，更主要的是它能让学生在教师的引导下，从“学会”起步，达到“会学”的目的，从“得一鱼”中达到“获以渔”的效果。

四、运算求解能力的培养

运算是指根据一定的规则，对数或式进行一系列操作以获得确切结论的运演过程，运算要有明确的目的和方向，要有算法依据。运算求解能力主要是指能够根据问题的条件和要求，灵活运用运算法则、算法和算理，寻求和设计合理、简洁的运演途径，对问题加以解决的能力。

圆锥曲线历来是高考的热点，而考生常因概念不清，运算能力薄弱造成失误的不乏其数。因此，在圆锥曲线的教学过程中，要强化运算能力的培养。

案例4：引导学生推导椭圆的标准方程。

给学生较多思考问题的时间，虽然化简式子会感到有困难，但我先让学生尝试，适当提示学生：化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，为了简洁应该先移项再平方。逐步尝试求出焦点在x轴上的椭圆标准方程。培养学生的运算意志，坚强的意志对学生能够长期进行准确、快速的计算，会产生良好的作用。

五、学生探索能力的培养

学生探究能力的培养，首先要提升学生学习数学的积极性，而恰当的，有诱发性的问题是调动学生学习积极性的主要方法之一。教师要善于提出问题，设计问题要有启发性和引导性，要有科学性和趣味性，激发学生的好奇心，促使学生主动去研究和探索。

案例5：在教授椭圆的标准方程一课时，通过探究、归纳出椭圆的定义之后，设计了下面一个环节――椭圆定义的再认识。追问：为什么要满足2a>2c呢？（1）当2a=2c时轨迹是什么？（2）当2a

如果每一个数学教育工作者在教学中都注重培养学生的思维能力，那么学生思维能力就一定会在这种潜移默化的培养中得到提高，学生分析问题和解决问题的能力也会有相应的提高，从而真正成为学习的主人。

（作者单位：江苏省扬州市广陵区红桥高级中学 225001）