n}的前n项和公式求法集锦'> 等比数列{an}的前n项和公式求法集锦

等比数列{an}的前n项和公式的推导，教材中采用“错位相减法”，这一方法简约而又直观，是公式获得的理想推导形式.其实对于等比数列的前n项和公式的推导我们还可以通过数列的结构特征，从不同的角度入手，用不同的方法进行推导，笔者尝试用以下八种方法对等比数列（公比不等于1）的前n项和公式进行推导.

一、“错位相减法”求和

解法1：Sn=a1+a2+a3+…+an，

当q=1时，Sn=na1，

当q≠1时，qSn=a2+a3+…+an+an+1，

两式相减可得（1-q）Sn=a1-an+1.

因为数列{an}为等比数列，所以

an+1=a1qn，

所以有Sn=a1-a1qn1-q.

综上，Sn=

na1 （q=1），

a1（1-qn）1-q （q≠1）

.

二、“方程的思想”求值

解法2：Sn=

a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+

a2q+…+an-1q，

所以Sn=a1+（a1+a2+…+an-1）q=a1+（Sn-an）q

即（1-q）Sn=a1-an+1.

下同法1.

解法3：因为a2a1

=a3a2=…=

anan-1=q，则

a2+a3+…an

a1+a2+…+an-1

=q，

即

Sn-a1Sn-an=q，解得

（1-q）Sn=a1-an+1.

下同法1.

三、利用“公式”求值

解法4：当q≠1时，

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1

=a1（1+q+q2+…+qn-1）

=a11-q

（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）

=a11-q（1-qn）.

四、“逐项相加法”求和

解法5：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

所以

Sna1

=1+q+q2+…+qn-1.

当q≠1时，

-11-q+Sn

a1=-11-q

+1+q+q2+…+qn-1

=（-11-q+1）+q+q2+…+qn-1

=（-q1-q+q）+q2+…+qn-1

=（-q21-q+q2）+q3+…+qn-1=…

=-qn-11-q+

qn-1=-qn1-q，

所以Sn=a1（1q-1-qnq-1）=

a1（1-qn）1-q.

五、“裂项相消法”求和

解法6：设等比数列{an}的公比为q，

当q≠1时，由

qk-1

=qk-qk-1q-1，

Sn=∑nk=1

ak=∑nk=1a1qk-1

=a1∑nk=1

qk-qk-1q-1

=a1q-1

∑nk=1

（qk-qk-1）=

a1（1-qn）

1-q.

六、“构造新数列”求值

解法7：

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

Sn+1=a1+a1q+a1q2+…+a1qn，

Sn+1-a1=q（a1+a1q+a1q2+…+

a1qn-1）=qSn，

所以Sn+1=qSn+a1.

当q≠1时，Sn+1+a1q-1

=q（Sn+a1q-1）.

所以数列

{Sn+a1q-1}

是以首项为S1+a1q-1，公比为q的等比数列，

Sn+

a1q-1

=（S1+a1q-1）qn-1

=a1qnq-1，

所以Sn=a1qnq-1

-a1q-1

=a1（1-qn）1-q.