时间：2022-09-18 06:21:03
余弦定理揭示了三角形中边与角之间的关系，在解决三角形问题中起着非常重要的作用.在很多关于三角形边角关系的试题中，若能将余弦定理作适当的变形，再恰到好处地加以灵活运用，往往比直接应用其本身解题更简捷高效.本文从余弦定理的推导方法及最终形式两个不同的角度入手将其变形，进而得到两个重要的性质，并加以应用来处理近年相关的高考题，不仅过程简单明了，而且效果事半功倍.
变形一 从余弦定理的推导方法入手加以变形
图1
教科书利用向量的数量积对余弦定理进行了推导证明，由此可见余弦定理可以与向量的数量积密切联系在一起.如图1，在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是
a、b、c，由余弦定理得：
a2=b2+c2-2bccosA.
又AB・AC=|AB||AC|cosA=bccosA，
所以a2=b2+c2-2AB・AC，即
AB・AC=12（b2+c2-a2）.
同理可得：BA・BC=
12（a2+c2-b2），
CA・CB=
12（a2+b2-c2），从而可以得到余弦定理的一个向量形式.
性质1：在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，则有
AB・AC
=12（b2+c2-a2），
BA・BC
=12（a2+c2-b2），CA・
CB=12
（a2+b2-c2）.
性质1的结构形式简洁明了，即：以三角形同一顶点为始点的边向量的数量积等于这两边平方和与第三边平方之差的一半.性质1有效地沟通了数量积与三角形三边长之间的关系，在处理三角形中的数量积问题时有着自己独特的作用.下面我们一起来见识一下性质1在高考试题求解过程中的神奇表现.
例1 （2012年湖南理科卷）在ABC中，
AB=2，AC=3，
AB・BC=1，则BC=.
（A） 3 （B） 7 （C） 22 （D）
23
解析：
因为AB・BC=1，所以
BA・BC=-1.由性质1得：
BA・BC=
12（BA2+BC2-AC2），所以
BA2+BC2-AC2=-2.又
AB=2，AC=3，所以
BC2=3，所以
BC=3，故应选（A）.
例2 （2012年浙江理）在ABC中，M是BC的中点，
AM=3，BC=10，则AB・AC=.
图2
解析： 不妨设ABC是等腰三角形且
AB=AC，如图2所示.因为M是BC的中点，所以
AMBC，BM=CM=12BC=5，
所以AB2=AC2=AM2+CM2=34.
由性质1得：
AB・AC=12
（AB2+AC2-BC2）=12（34+34-100）=-16.
例3 （2012年江苏卷）在ABC中，已知AB
・AC=
3BA・BC.（Ⅰ）求证：
tanB=3tanA；（Ⅱ）若
cosC=55，求A的值.
解析： （Ⅰ）过程略.（Ⅱ）记
ABC三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、 c.
由性质1得：
AB・AC=12（b2+c2-a2），
BA・BC=12
（a2+c2-b2）.
因为AB・AC=3BA・BC，
所以12（b2+c2-a2）=
32（a2+c2-b2），
即c2=2（b2-a2）.
所以cosC=a2+b2-c22ab
=a2+b2-2（b2-a2）2ab=55.
所以15a2-25ab-5b2=0，即
（3a-5b）（5a+5b）=0，所以
3a-5b=0，即
ab
=53.
令a=5k，b=3k（k>0），则
c2=2（b2-a2）=8k2，所以
c=22k.
由余弦定理的推论得：
cosA=b2+c2-a22bc
=9k2+8k2-5k22×3k×
22k
=22.
又0
A=π4.
例4 （2013年浙江理科卷）设
ABC，P0是边AB上一定点，满足
P0B=14AB，且对于边
AB上任一点P，恒有
PB・PC≥
P0B・P0C.则（ ）
（A） ∠ABC=90° （B） ∠BAC=90°
（C） AB=AC（D） AC=BC.
解析：记ABC三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.
设BP=λBA（0≤λ≤1），则
|BP|2=λ2|BA|2=c2λ2.
因为PB・PC=PB
・（PB+BC）=
PB2+PB・BC=c2λ2
-λBA・BC，
由性质1得：
BA・BC
=12
（a2+c2-b2），
所以PB・PC=c2λ2
-12
（a2+c2-b2）λ（0≤λ≤1）.
因为P0B=14AB，所以BP0=
14BA.
又PB・PC≥P0B・P0C对于ABC边AB上任一点P恒成立，
所以当λ=14时，PB・
PC取得最小值.
所以λ=a2+c2-b24c2=
14，即a2=b2，所以a=b，所以
AC=BC，故应选（D）.
余弦定理的向量形式在解题之中的应用，效果确实非比寻常，其成功的关键在于必须牢牢把握住三角形边向量始点相同这一结构特征，方能运用自如，达到出神入化的境地.以上几例的获解都得益于此，例1更是如此.除此之外，问题的求解还须结合其他方式加以巧妙处理.例2借助特殊化的方式处理会使目的达成更加快速，例3结合余弦定理的推论求解应注意引入常数k才会简便，例4题意的理解是重点，利用向量线性运算将数量积
PB・PC转化为边向量
BA与BC的数量积是解题关键，由此将问题转化为二次函数在某闭区间的最值问题这种常见类型，思路变得异常清晰，否则，直接转化为恒成立问题利用二次方程根的分布去处理就达不到这种简洁的效果.
变形二 从余弦定理的最终形式入手加以变形
图4
如图4，在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是A、B、C，则由余弦定理得：
a2=b2+c2-2bccosA ①，
b2=a2+c2-2accosB ②，
c2=a2+b2-2abcosC ③.
由①+②得：a2+b2=b2+a2+2c2-2bccosA-
2accosB，
即
c2=bccosA+accosB，所以c=acosB+bcosA.
同理可得：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，
从而可得到余弦定理的另一个变式性质.
性质2：在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，则有a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.
图5
性质2的结构形式也简洁明了，即：三角形中任何一边等于其他两边与该边所夹角的余弦值之积的和，十分方便掌握.性质2实际是数学中十分著名的三角形射影定理.之所以称为“射影定理”，这与三角形各边在其他边的射影有关.我们以“a=bcosC+ccosB”为例加以说明：如图5，在ABC中，边b、c在a上的射影分别为
bcosC、ccosB，由此结论显而易见.这不仅有助于我们理解性质的内涵，而且进一步拓展了我们的视野，感受到数学的自然之美.下面让我们一起来见识一下性质2在高考试题求解过程中的不俗表现.
例5 （2013年辽宁理科卷）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为
a，b，c.若asinBcosC+csinBcosA=12b，且
a>b，则∠B=（ ）
（A） π6 （B） π3 （C）
2π3 （D） 5π6
解析：因为asinBcosC+csinBcosA=
12b，所以（acosC+ccosA）cosB=12b.
由性质2得：b=ccosA+acosC，所以
bsinb=12b.又b>0，所以sinB=12.因为a>b，所以B
角B为锐角，所以B=π6，故应选（A）.
例6 （2013年陕西文科卷）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c.若bcosC+ccosB=asinA， 则ABC的形状为（ ）
（A） 直角三角形 （B） 锐角三角形
（C） 钝角三角形（D） 不确定
解析：由性质2得：a=bcosC+ccosB.因为b
cosC+ccosB=asinA，所以a=asinA.又a>0，所以sinA=1.又0
，所以A=π2，
故应选（A）.
例7 （2008年湖北理科卷）在ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为
a=3，b=4，c=6，
则bccosA+cacosB+abcosC的值为 .
解析：由性质2得：
bcosC+ccosB=a，ccosA+acosC=b，acosB+bcosA=c，
所以abcosC+accosB=a2，bccosA+bacosC=b2，cacosB+cbcosA=c2，所以bccosA+cacosB+abcosC=12
（a2+b2+c2）.又a=3，b=4，c=6，所以a2+b2+c2=61，所以bccosA+cacosB+abcosC=612.
从以上的分析中不难感受到性质2在解题中的简捷明快.这一性质对于我们来说并不陌生，它出自于人教A版必修5教材中的练习题，同样的例7也与教材中的一个例题相关.这启发了我们在学习数学的过程中，不能老是盯着课外的一些参考资料，埋头于题海之中，实际上教材才是根本，回归课本至关重要.不敢说“书中自有黄金屋，书中自有颜如玉”， 但只要我们静心加以研究，你一定会发现课本里面确实也别有洞天、精彩纷呈，正如“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火栏栅处”一般！