基本不等式……及其应用

基本不等式a+b2≥ab在高中数学中具有极其重要的地位，从知识体系角度说，基本不等式不仅本身就是一个重要的数学知识模块，而且能与高中数学多个分支知识进行融合；从思维能力角度说，基本不等式是创造性与严谨性的有机结合、发散性思维与收敛性思维的辨证统一。因此，基本不等式是高中数学体系中的重要模块，也是高考中的的常见题型及运用载体。

一、基本不等式与线性规划知识的融合

在高中学习的线性规划知识除本身就是不等式组确定的体系外，在求线性或非线性目标函数最值的过程中往往会运用到基本不等式。

题1

已知实数x，y满足

x-y-2≤0，

x+2y-5≥0，

y-2≤0，求u=x2+y2x+y的取值范围。

（图1）

解：x-y-2≤0，

x+2y-5≥0

y-2≤0表示的平面区域为如图1，

u=x2+y2xy

=x2xy+y2xy

=xy+yx

由图1可知k=yx∈13，2，

得u=k+1k∈2，103。

二、基本不等式与函数单调性知识的融合

基本不等式的应用与函数f(x)=x+1x的性质密不可分，经常借助函数f(x)=x+1x的性质解决相关问题。

题2 不等式 log2x+1x+6≤3的解集为。

本题考查的是对数函数单调性和不等式的解法，我们可以这样求解：

解：由

log2x+1x+6≤3= log28，得0

x+1x≤2，

x+1x+6>0.

思路一 解不等式组得x∈(-3-22，-3+22)∪{1}。

当然这个不等式组的求解是比较烦的，如果借助函数f(x)=x+1x的图象与性质，则将会很快地解决这道填空题。

思路二 结合函数f(x)=x+1x，

函数y=2与函数y=-6的图象（如图2所示），可以观察求出不等式的解集

（图2）

三、基本不等式与三角函数知识的融合

题3 已知ABC的三边a，b，c所对的角

分别是A，B，C，且BC边上的高AD=BC，求 cb+bc的取值范围是。

解：

cb+bc≥2cb•bc=2，当且仅当 cb=bc，即b=c时取“=”。

在ABC中，cosA=b2+c2-a22bc=b2+c22bc-a22bc。

由S ABC=12bcsinA=12AD•BC=12a2，

a2bc=sinA。

cb+bc=c2+b2bc=2cosA+sinA=5sin(A+φ)≤5

故cb+bc的取值范围是［2，5］

四、基本不等式运用中的“相等”问题

在运用基本不等式解决有关最大值与最小值的问题时，要注意“一正，二定，三相等”的基本要求，特别是“相等”成立的条件。

1x+ay≥9对任意的x，y恒成立，求实数a的最小值。

错解：

x+y≥2xy，

1x+ay≥ 21x•ay=2axy，

(x+y)1x+ay≥2xy•2axy= 4a。

由已知得4a≥9，得正实数a的最小值为8116。

这种错解的原因是没有注意到“=”成立的条件。

正解：

(x+y)1x+ay=1+a+

yx+axy≥1+a+2yx•axy=1+a+2a。

由已知得1+a+2a≥9，得a≥2，故正实数a的最小值为4。

(江苏省兴化中学)

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