热传导方程的能量估计

摘要： 本文以傅立叶交换和分离变量两种方法对热传导方程进行能量的估计，并举例说明其在实际生活中的意义。

Abstract: This article carries on Fourier transformation and the separation of variable to estimate the heat conductivity equation，and gives some examples to explain its significance in the practical life.

关键词： 热传导方程；傅立叶变换；分离变量

Key words: heat conductivity equation；Fourier transformation；separation of variable

中图分类号：TK31 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）13-0032-03

0 引言

自17世纪牛顿，莱布尼茨发明微积分后，科学家在利用微积分处理力学，物理学中各种问题的过程中导出了大量的微分方程。在这些微分方程中，有些是常微分方程，比如力学中质点运动方程（m =f），但更多是偏微分方程。欧拉，拉格朗日等科学家在研究流体力学，声音传播和膜振动等问题时。拉普拉斯在研究势函数和潮汐理论时，傅立叶在研究热传导以及麦克斯韦在研究电磁理论时都导出一些偏微分方程，近代量子力学中出现的波动方程也是偏微分方程。我们把物理研究中出现的偏微分方程称为数学物理方程。而数学物理方程中的三大支柱理论为波动方程，热传导方程，调和方程。随着世界资源的日益减少，能源危机愈发的凸现，所以对于热传导方程中能量问题成为人们关注的焦点。

1 热传导方程的基本知识

热传导方程的定义及推导：在导热介质中，温度分布的不均匀时热量流动，这种现象称为热传导。热传导的强弱时用面积热流量q（x，y，z）表征的，它时单位时间内垂直通过单位面积的热量，以u（x，y，z，t）表示温度，则按热学中的傅立叶定律有q∝Δu，而且

q=-k?塄u

其中比例常数k>0称为导热系数。外面在介质为均匀且各向同性的前提下，由能量守恒定律和傅立叶定律推导热传导方程。

在介质中考察任一小的体积Δv，它的边界为s，以c和p分别表示比热容和密度，以q（x，y，z，t）表示热源强度。即介质中热源在单位时间，单位体积内所放出的热量，则由热量守恒定律，在单位时间内，Δv中所增加的热量等于从s流入的热量与Δv内的热源所释放的热量之和，即

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