一维热传导的解析解法及数值解法

中图分类号：K826.16 文献标识码：A 文章编号：

如今有许多解决一维热传导的方法，解析法是解决工程问题的最佳方法之一，尤其在流体流动和热质交换领域。由于该方法可以使抽象的物理现象可视化，而被广泛推荐使用，但其复杂的初始条件和边界条件而使其过程复杂化。

通过大多数研究调查可以得知如何获得一绝热空间的热扩散结果，他们均在已知初始条件为T=Ti=常数下获得。本文将讨论T与X的关系，因此假设T=1+cosπx，研究在此条件下温度如何随时间而改变。

解析法

首先用更为准确的解析法来研究：

,

设α=1，然后通过传统方法来获得温度公式：

1+cos(πx)e-(π^2)t

采用Mathematic绘制图表如下：

由图可知，温度随时间的增长而趋于稳定为一常数。

数值法

采用数值运算是须考虑扩散系数、空间域的长度L和初始数据f，先将空间和时间离散化。

随着距离x的增长，设nx为正整数，x=L/nx，nt表示计算机计算步骤，t=1/nt。因此，T=（ix，jt）

然后采用泰勒法，在离散的时间和空间，笔者得到一个函数f，为n + 1次连续可微的一点a，x点附近的f值为已给定的：

f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+1/2!f’’(a)(x-a)2+1/3!f’’’(a)(x-a)3+….+1/n!fn(a)(x-a)n+1/(n+1)!fn+!(c)(x-a)n+1

其中c∈（a，x）。

通常上式右边部分被称作函数f在a点处泰勒公式的拓展

采用泰勒法可以发现点（x，t）和其附近点（x，t+t）之间的关系。运用泰勒公式的函数tT（x，t+t）在t=0处，因此可得到其拓展公式如下：

T(x, t+Δt)=T(x,t)+Tt(x,t) Δt+(1/2!)Ttt(x,c) Δt2

则可得Tt（x，t）如下：

Tt(x,t)=[ T(x, t+Δt)- T(x,t)]/ Δt-(1/2!)Ttt(x,c) Δt2

若忽略(1/2!)Ttt(x,c) Δt2，则函数近似为：

Tt(x,t)=[ T(x, t+Δt)- T(x,t)]/ Δt

用T=（ix，jt）替代Tt（x，t），则有：

Tt(iΔx,jΔt)=+)/ Δt

采用同样方法可得：

T(x-Δx,t)=T(x,t)-Tx(x,t) Δx+1/2 Txx(x,t) Δx2-(1/3!)Txx(x,t) Δx3

T(x+Δx,t)=T(x,t)+Tx(x,t) Δx+1/2 Txx(x,t) Δx2+(1/3!)Txx(x,t) Δx3

联立可得：

Txx(x,t)=[ T(x-Δx,t)-2 T(x,t)+ T(x+Δx,t)]/ Δx2

然后均用T=（ix，jt）替代可得：

Txx(iΔx,jΔt)=Δx2

也可表达为：

=+αΔt/Δx2

其中： 。

假设第一点：

然后采用mathematic软件编程如下：

datalist={};

nt=100

nx=10

t=0.4/nt

x=1/nx

Do[u[i,0]=1+Cos[Pi*i/10],{i,1,99}]

u[0,0]=u[1,0]

u[100,0]=u[99,0]

由此可见上述两图表差异很小。造成此现象的原因是数值法可以控制t保持在微小误差范围内。其中取 Δt/Δx2=0.4

取 Δt/Δx2=0.6，代码如下：

datalist={};

nt=100

nx=10

t=0.6/nt

x=1/nx

Do[u[i,0]=1+Cos[Pi*i/10],{i,1,99}]

u[0,0]=u[1,0]

u[100,0]=u[99,0]

由此可得结果不合理，因此值得注意的是：

当Δt/Δx2>0.5时，数值解析法所得结果不合理。

此处所讨论的初始条件为X的函数，若当x=0时，存在一个温度梯度，假设此温度梯度为0.001，则当x=t时温度是均匀的。

采用数值解法时，将t等分成100份，x等分成10份，取t=20

datalist={};

nt=100

nx=10

t=20/nt

x=1/nx

Do[u[i,0]=3,{i,1,99}]

u[0,0]=u[1,0]-x*0.01

u[100,0]=1

结论：

本文是讨论不同初始条件和边界条件下的数值解法，将其与解析解法进行比较。通过研究发现，这两种方法的不同之处在于其误差x，并且Δt/Δx2也是影响结果的因素之一。

参考文献

1.Amir Faghri , Yuwen Zhang, Jonh Howell. Advanced Heat and Mass Transfer.

2.Choy, Keith K.H; Porter, John F; McKay, Gordon.Film–pore diffusion models—analytical and numerical solutions

3.Chicone Carmen . Mathematical modeling

4.O’Riordan, Eugene Opposing flows in a one dimensional convection -diffusion problem