热传导方程的解在改变控制函数时的变化情况

摘要：本文主要介绍热传导方程yt-yxx=u（x，t）y（0，t）=y（1，t）=0y（x，0）=y0（x） x∈[0，1]，t≥0（*）在满足给定初边值条件及控制函数u（ Pu，PL∞≤1）的条件，改变控制函数u，此方程的解如何变化，以及在此条件下能否找到此方程在T时刻时能达集F={yu（g，T）：yu是方程（*）对应于u的解}的一个子集合.

关键词：热传导方程；能控性；能达集

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）03-0207-02

本文对热传导方程yt-yxx=u（x，t）y（0，t）=y（1，t）=0y（x，0）=y0（x） x∈[0，1]， t≥0的通解进行介绍.

yt-yxx=u（x，t）y（0，t）=y（1，t）=0y（x，0）=y0（x） x∈[0，1]，t≥0，y0（x）∈C[0，1]，|u（x，t）|≤1

（1）利用叠加原理，将y（x，t）表为下述两个初边值问题的解v和w之和.y（x，t）=v（x，t）+w（x，t），其中v，w分别满足问题：

vt-vxx=0v（0，t）=v（1，t）=0v（x，0）=y0（x） x∈[0，1]， t≥0 （1.1） 和wt-wxx=u（x，t）w（0，t）=w（1，t）=0w（x，0）=0 x∈[0，1]， t≥0 （1.2）

（2）解（1.1）式

首先，因为y0（x）∈C[0，1]，即存在常数k＞0，使得|an|＜k（?坌n∈N），因此，对?坌t1＞t0＞0，在闭矩形区域 ■={（x，t）|0≤x≤1，t0≤t≤t1}上有|ane■sinn?仔t|≤ke■，所以级数■ane■sinn?仔x在■上绝对且一致收敛，故和函数v（x，t）连续.由t＞0的任意性知v（x，t）在0≤x≤1，t＞0上连续.于是对?坌t＞0有v（0，t）=v（1，t）=0.

然后，寻求变量分离的解：v（x，t）=X（x）T（t），代入（1.1）式，得：■=■，并记为-?姿；由此可得：X''+?姿X=0T'+?姿T=0，由边界条件可知：X（0）=X（1）=0

因此可构成常微分方程的特征值问题 X''+?姿X=0X（0）=X（1）=0 （1.3），解法如下：

①当?姿＜0时，方程的通解为X（x）=Ae■+Be■ ， 代入边界条件得：

A=B=0，即方程仅有零解.故?姿＜0不是其特解.

②当?姿=0时，通解为X''（x）=0，代入边界条件后得X（x）=0，故?姿=0也不是特征值.

③当?姿＞0时，若记?姿=k2（k＞0），则得方程的通解为X（x）=Acoskx+Bsinkx

由边界条件X（0）=0得A=0；

再由X（1）=0 得Bsink=0 ，要求非零解，则B≠0，故应有k=n?仔或?姿n=（n?仔）2，n=1，2…此即特征值问题（1.3）的特征值，相应的非零解，即特征函数是Xn（x）=sinn?仔x n=1，2，3…（这里B取为1）

注：特征值?姿是使特征方程有非零解的值.

将?姿n代入T’+?姿T=0，得它的通解为Tn=ane■，

从而可得v（x，t）=■XnTn=■ane■sinn?仔x （1.4）

代入初始条件得：■ansinn?仔x=y0（x）

于是，an是y0（x）在[0，1]上的Fourier正弦级数的系数，即an=2■y0（?孜）sinn?仔?孜d?孜

（3）用特征函数法求解（1.2）式：

从（1.4）式，寻求问题（1.2）如下形式的解：

w（x，t）=■wn（t）sinn?仔x （1.5）

（1.5）式满足齐次边界条件，wn（t）待定.将函数u（x，t）也按特征函数系展开，得

u（x，t）=■un（t）sinn?仔x （1.6）

其中un（t）=2■u（x，t）sinn?仔xdx

将（1.5）（1.6）式代入（1.2）可得：wn'（t）+（n?仔）2wn（t）=un（t）un（0）=0，这是一阶常微分初值问题，其解为

wn（t）=e■■un（t）e■dt，将其代入（1.5）式，得（1.2）式的解为：

w（x，t）=2■[■e■（■u（?孜，t）sinn?仔?孜d?孜）dt]e■sinn?仔x

（4）由叠加原理，方程（*）的解为：y（x，t）=v（x，t）+w（x，t）=2■e■sinn?仔x（■y0（?孜）sinn?仔?孜d?孜）+2■[■e■（■u（?孜，t）sinn?仔?孜d?孜）dt]e■sinn?仔x

参考文献：

[1]陈祖墀.偏微分方程[M].第2版.合肥：中国科学技术大学出版社，2004.

[2]方瑛，徐忠昌.数学物理方程与特殊函数[M].北京：科学出版社，2007.

作者简介：蒋学良（1963-），男，现任大连交通大学副教授，主要任教学科：变频器应用技术、数字电路等，研究方向：电气自动化。