运用构造法解析几种常见类型的函数问题

摘要： 高职数学中函数问题的解答是非常普遍的，而对于函数问题也往往是学生感到头疼的，特别是对那些抽象的函数问题，学生经常是一筹莫展。如何找到解决函数问题的有效方法，使学生摆脱困境，是我们数学教师应该认真研究的课题。本文主要探讨运用构造法解析几种常见类型的函数问题。

关键词： 构造法 解析 函数问题

我们知道函数主要是反映变量之间的关系，高等数学中的函数问题由于其解析式抽象、复杂，有的无法直观地通过图像或借鉴熟悉的函数性质解决，给学生解决问题带来了困扰。笔者通过多年的教学摸索，发现用构造法研究函数的解是解决许多实际问题有效的方法。本文试图通过常见几种类型函数问题的探讨，寻求解答函数问题的思路和思想方法。

一、巧用抽象函数关系式构造熟悉函数并解决问题

有的函数问题没有具体的函数关系式，只是一些抽象的函数式，而往往要求研究该函数的有关性质。

例1：已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2，则f（x）在［-3，3］上的最大值为_______，最小值为_______。

解析：构造函数f（x）=kx，由已知条件知k=-2。数形结合得最值。

类似题：已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1003）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2005）=2006。

解析：构造函数f（x）= x。

例2：设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（ ）=f（x）-f（y），若f（2）=1，则f（4）=2。

解析：构造函数f（x）=log x，则f（4）=log 4=2。

类似题：已知定义域为R的函数f（x）对任意的实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=1，f（ ）=0。给出下列结论：①f（ ）= ；②f（x）为奇函数；③f（x）为周期函数；④f（x）在（0，π）内为单调函数。其中正确的结论是③④。（填上所有正确结论的序号）

解析：构造函数f（x）=cosx。

上面的函数只是题设函数的特殊情况，用以推测题设函数的性质，具体问题还要用一般方法解决（如赋值法、抽象函数关系式变式反复使用等解题技巧）。

二、利用换元后转化为熟悉函数解决问题

许多问题所给函数解析式是一种复合函数，可以通过换元，利用内、外函数的复合转化为熟悉的函数解决问题。（复合函数单调性法则是“同增异减”，即内、外函数单调性相同，复合函数为增函数，否则为减函数。）

例3：已知向量 =（ ，-1）， =（ ， ）。

（1）若存在不为0的实数k和角α，α∈（- ， ），使 = =+（tan α-3） ， =-k +（tanα） 且 ，试求函数关系式k=f（α）；

（2）对（1）中的k=f（α），求k=f（α），α∈（- ， ）的极值。

解析：（1）k= tan α- tanα。

（2）换元，令x=tanα，构造函数k= x - x（x∈R），利用导数求得x=1，即α= 时k的极小值为- ；x=-1，即α=- 时k的极大值为 。

三、引进恰当的变量构建函数解决问题，特别是实际问题

客观世界从某种意义上讲是变量的世界，许多实际问题可以通过收集与分解数据、引进变量、构造合理的函数关系式、研究构造的函数关系式等方法来解决。

例4：请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点Ｏ到底面中心Ｏ的距离为多少时，帐篷的体积最大？

解析：设OO 为xm，则1＜x＜4。

由题设可得正六棱锥底面边长为 = ，（单位：m）

故底面正六边形的面积为6• •（ ） = •（8+2x-x ），（单位：m ）

帐篷的体积为V= •（8+2x-x ）•［ （x-1）+1］= •（16+12x-x ）。（单位：m ）利用导数知识知，当x=2时，V（x）最大为16 m 。

四、利用题设条件巧妙构造熟悉性质的函数，解决问题

许多问题所给函数关系式复杂，就其本身很难研究。但只要合理变形，就能构造新的我们熟悉的函数，利用它们的性质研究所给函数的性质方便、快捷。

例5：如果（1+sin θ）sinθ＞（1+cos θ）cosθ，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范围是___ __。

解析：构造函数f（x）=（1+x）x=x+x，则f′（x）=5x+1＞0，f（x）为R上的增函数。故由题知sinθ＞cosθ，而θ∈（0，2π），所以θ∈（ ， ）。

类似题：使（log 3） -（log 3） ≥（log 3） -（log 3） ，则x，y的大小关系是__ _____。

解析：构造函数f（x）=（log 3） -（log 3） ，由于y =（log 3） 为增函数，y =（log 3） 为减函数，故f（x）为增函数，由题知f（x）≥f（y），知x≥y。

例6：已知函数f（x）=lnx，g（x）=x。当x＞1时，求证：f（x）＞2g（ ）。

解析：构造函数h（x）=f（x）-2g（ ），利用导数知h（x）在（1，+∞）是增函数，故h（x）＞h（1），得证。

其实，构造熟悉的函数解决问题，实质依然是转化思想，即化未知函数为熟悉函数，利用熟悉函数的图像和性质解决问题。已有的知识经验是解决未知问题的钥匙，只有熟练掌握常见函数的图像和性质，理解函数的基础知识，勤于思考，善于总结，勇于探索，才能找到解决问题的途径，到达成功的彼岸。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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