递推数列通项公式的几种求法

摘 要：研究一阶递推数列通项公式的求法，分析解法的适用条件，比较解法的优劣，挖掘解法的本质，有助于学生在解题时以不变应万变。

关键词：递推关系式；等差数列；等比数列；通项公式

求递推数列的通项公式，既是中学数学学习的一个难点，又是高考的一个热点，而一阶线性递推数列又是考察的重点和主要形式。如何求出此类递推数列的通项公式，是解决这类数列问题的关键和基础。本文根据系数的不同取值分类型介绍几种方法。

解法一：等式两边同除法

an=can-1可化为 = + ，令bn= ，则b1= ，bn-bn-1= ，

因此，bn-b1=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）=d（ + +…+ ）

即：bn= + ，所以，an=（a+ ）cn-1- .

解法二：构造法

这种方法要根据题目的具体特点来灵活选用是构造等差数列还是等比数列，一旦选好方法做题能达到事半功倍的效果。

（1）形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an.

①an=kan-1+b解法：把原递推公式转化为：an+1-t=p（an-t），其中t= ，再利用换元法转化为等比数列求解。

例1.已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

解：设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1=-t=2（an-t），即an+1=2an-t？圯t=-3.故递推公式为an+1+3=2（an+3），令bn=an+3，则b1=a1+3=4，且 = =2，所以{bn}是以b1=4为首项，2为公比的等比数列，则bn=4×2n-1=2n+1，所以an=2n+1-3.

②an=kan-1+bn解法：该类型较类型3要复杂一些。一般的，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得： = ・ + 引入辅助数列{bn}（其中bn= ），得：bn+1= bn+ ，再应用an=kan-1+b的方法解决.

例2.已知数列{an}中，a1= ，an+1= an+（ ）n+1，求an.

解：在an+1= an+（ ）n+1两边乘以2n+1得：2n+1・an+1= （2n・an）+1，

令bn=2n・an，则bn+1= bn+1，应用例7解法得：bn=3-2（ ）n，

所以an= =3（ ）n-2（ ）n

（2）形如an= 的递推数列都可以用倒数法求通项。

例3.an= ，a1=1

解：取倒数： = =3+

{ }是等差数列， = +（n-1）・3？圯an= .

解法三：“不动点”法

设x0是函数f（x）的不动点，则x0=cx0+d，解得x0= ，

那么an=can-1+d可以化为an- =can-1+d- =c（an-1- ）

解法四：“升降下标作差”法

由an=can-1+d…………① 可得an+1=can+d…………②

②-①得an+1-an=c（an-an-1），n≥2.

令bn=an+1-an，则bn=cbn-1，且b1=a2-a1=ca+d-a，

所以bn=（ca+d-a）cn-1，即an+1-an=c（ca+d-a）cn-1，

an-a1=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）=（ca+d-a）（1+c+c2+…+cn-2）

an=（ca+d-a）（ ）+a=（a+ ）cn-1- .

解法五：待定系数法

由以上解法得出的结果看，满足an=can-1+d，（c≠0，c≠1，d≠0），a1=a的数列{an}的通项公式就是an=Acn-1+B型，由于a2=ca+d，所以有a1=A+B=aa2=Ac+B=ca+d解关于A、B的方程组得，A=a+ ，B=- .

故an=（a+ ）cn-1- .

参考文献：

[1]沈新权，曹鸿德.一阶递推数列的有界性与单调性[J].数学通报，2013（07）.

[2]宋波.一阶线性递推数列通项公式的分类求法[J].数学爱好者：高一人教大纲，2008（10）.

[3]毛蓓蕾，赵焕光.关于线性递推数列通项的求法及其收敛特征[J].宁波教育学院学报，2008（05）.

（作者单位 王亚男：观山湖区中等职业学校 袁红秋：贵州理工学院）