聚焦“恒成立 能成立”

最近几年“恒成立 能成立”问题在高考中高频亮相，几乎渗透到了高中数学所有主干内容之中.为了理清此类问题的脉络，掌握解决问题的策略，特整合几个问题进行剖析，供同学们学习时参考.

一、“恒成立 能成立”结论

（1）若不等式f （x）>A在区间D上恒成立，则等价于在D区间f （x）min>A上

f （x）min>A.

（2）若不等式f （x）

（3）若在区间D上存在实数

x使不等式f （x）>A成立，则等价于在区间D上

f （x）max>A.

（4）若在区间D上存在实数x使不等式

f （x）

f （x）min

二、“恒成立 能成立”应用

1.“围城”在函数中

例1 设f （x）是定义在R上的偶函数，且当

x≥0时，f （x）=ex.若对任意的

x∈[a，a+1]，不等式

f （x+a）≥f 2（x）恒成立，则实数a的最大值是.

解：由题意，得

f （x）=e|x|，则对任意的

x∈[1，a+1]，不等式

e|x+a|≥e2|x|恒成立，即对任意的

x∈[a，a+1]，不等式

|x+a|≥2|x|恒成立.当

a=0时，显然不合题意；当

a>0时，函数

y1=2|x|和

y2=|x+a|的图象交于点

（a，2a），（-a3，

2a3），显然也不合题意；当

a

（a，-2a），（-a3，-

2a3），由题意，得

[a，a+1][a，-a3]，所以

a+1≤-a3，解得

a≤-34.综上，实数a的最大值为

-34.

例2 已知函数

f （x）=13x3+ax2+bx（a，b∈R）

若f （1）=13，

且函数f （x）在（0，12）上不存在极值点，求a的取值范围.

解法1：（分类讨论）由

f （1）=13，得b=-a，

即f （x）=13x3+ax2-ax，f

′（x）=x2+2ax-a.

由y=f （x）在（0，12）上不存在极值点，下面分四种情况讨论.

①当y=f （x）没有极值点时，Δ=4a2+4a≤0，得

-1≤a≤0.

②当y=f （x）有两个极值点，且两个极值点都在（-∞，0]时，

则

Δ>0，

f ′（0）≥0，

-a

得a无解.

③当y=f （x）有两个极值点，且两个极值点都在

[12，+∞）时，

则

Δ>0，

f ′（12）≥0，

-a>12，

得a=-1.

④当y=f （x）有两个极值点，且两个极值点一个在

（-∞，0]，另一个在

[12，+∞）

时，则

f ′（x）≤0，

f ′（12）≤0，

得a无解.

综上，a的取值范围为

（-∞，0]

解法2：（参变分离） 同上得

f （x）=13x3+ax2-ax，f ′（x）=x2+2ax-a.

令f ′（x）=0，即x2+2ax-a=0，变形得

（1-2x）a=x2.

因为

x∈（0，12），所以

a=x2

1-2x.令

1-2x=t，

则t∈（0，1），x21-2x=

14（t+1t-2）.

因为h（t）=t+1t-2在

t∈（0，1）上单调递减，故h（t）∈（0，+∞）.由

y=f （x）在（0，12）上不存在极值点，得

a=x21-2x在（0，12）上无解，

所以，

a的取值范围是（-∞，0].

2.“潜伏”在数列中

例3 设二次函数f （x）=（k-4）x2+kx（k∈R），对任意实数

x，有f （x）≤6x+2恒成立；数列

{an}满足

an+1=f （an）.

（1）求函数f （x）的解析式和值域

（2）证明：当

an∈（0，12）时，数列

{an}在该区间上是递增数列.

（3）已知

a1=13，

是否存在非零整数 使得对任意

n∈N*，都有

log3（11/2-a1

）+log3（11/2-a2）+

…+log3（11/2-an）>-1

+（-1）n-1・2λ+nlog32

恒成立？若存在，求之；

若不存在，说明理由.

解析： （1）由

f （x）≤6x=2

恒成立等价于

（k-4）x2+（k-6）x-2≤0恒成立

，即

k-4

（k-6）2+8（k-4）≤0，

即k

（k-2）2≤0.

从而得k=2，所以

f （x）=-2x2+2x，其值域为（-∞，12].

（2）

an+1-an=

f （an）-an=-2a2n+2an-an=

-2（an-14）2+18.

an∈（0，12）-14

-2（an-14）2>-18

-2（an-14）2+18

>0.

从而得

an+1-an>0，即

an+1>an，

所以数列

{an}在区间（0，12）上是递增数列

（3）由（2）知an∈

（0，12），

从而

12-an∈（0，12）.

12-an+1

=12

-（-2a2n+2an）=

2a2n-2an+12

=2（an-12）2，

即12

-an+1=2（12-an）2.

令

bn=

12

-an，

则有

bn+1=2b2n

且bn∈（0，12）.从而有

lgbn+1=2lgbn+lg2，

可得

lgbn+1+lg2=2（lgbn+lg2）.

所以数列

{lgbn+lg2}是lgb1+lgb2=lg13为首项 公比为2的等比数列.从而得

lgbn+lg2=lg13

・2n-1=lg（13）2n-1

，即lgbn=lg（13）

2n-12.

所以bn=（13）2n-12

=12（13）2n-1

112-an

=1bn

=2・32n-1

log3（112-an）=

log3（2・32n-1）=

log32+2n-1

log3（112-a1

）+log3（112-a2）+…

+log3（112-an）=

nlog32+1-2n1-2

=2n+nlog32-1，

即

2n+nlog32-1>（-1）n-1・2λ+nlog32-1

，所以

2n-1>（-1）n-1λ

恒成立.

① 当n为奇数时，即λ

n=1时，2n-1有最小值1，

所以

λ

② 当n为偶数时，即λ>-2n-1恒成立，当且仅当

n=2时 有最大值-2，

所以λ>-2.

因此，对任意

n∈N*，有

-2

例4 已知数列

{an}的前n项和为

Sn=

12

n（n+1），

bn是

an和

an+1的等差中项.

（1）求数列

{bn}的通项公式；

（2）设

cn=

1（2n-1）bn，数列{cn}的前n项和为

Tn，若满足不等式

bn+λ

λ的取值范围.

解：（Ⅰ）当n=1时，

a1=1；当n≥2时，

an=Sn-Sn-1=n，故an=n.

又bn是an与an+1的等差中项，所以

bn=an+an+12，得

bn=n+12.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

cn=2（2n-1）（2n+1）

=12n-1-12n+1，

所以

Tn=1-12n+1.

设

f （n）=Tn-bn=1-12n+1-

（n+12）=1-

（n+12+12

n+12），

则 f （n）在（0，+∞），且

n∈N*上是递减数列.

因为满足不等式

bn+λ

b2+λ

b3+λ≥T3，

解得

-3714≤λ

-1710.