用“等效电源”分析测电源电动势和内阻的误差

所谓“等效电源”就是在简化电路时，任何一个有源二端线网络都可以用一个电动势为E的理想电压源和内阻r0的电阻串联来替代。等效电源的电动势E就是有源二端网络的开路电压u0，即将负载RL与电路断开后A、B两端之间的电压。等效电源的内阻r0等于有源二端网络（将电压源视为短路；电流源视为开路）断开后所得到的无源网络A、B两端之间的电阻。

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我们在做“测量电源电动势和内阻的实验”时，若不考虑电流表和电压表对电路的影响，无论使用图1或图2情况完全一样。

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实验原理很简单，通过改变可变电阻的阻值，读出几组电流表和电压表的示数，可得到路端电压和干路电流的两组数据U1、I1；U2、I2。根据闭合电路的欧姆定律列方程：

E=U1+I1r①

E=U2+I2r②

由①②即可得电动势E和内阻r。

若考虑电流表和电压表阻值对电路的影响，图1、图2两种接法都存在误差，并且情况有所不同。设电源电动势真实值为E0、测量值为E；内阻真实值为r0、测量值为r。

一、若按照图1连接

按照常规解析方法分析：电压测量是真实的，电流却少测了通过电压表的电流，设伏特表电阻为Rv，将①②两方程修改为：

E0=U1+（I1+u1/Rv）r0③

E0=U2+（I2+u2/Rv）r0④

由③④两式得：U1+（I1+u1/RV）r0=U2+（I2+u2/RV）r0⑤

整理得：I1-I2=（U2-U1）/r0+（U2-U1）/RV⑥

由①②得：I1-I2=（U2-U1）/r⑦

这时我们不必再解方程式③④，只需与①和②式对照后即可得到方程：■=■+■。

由此可见，电源内阻的测量值等于内阻真实值r0与RV的并联值，因此可判定测量值r小于真实值r0。

再看电动势的测量值E，它应等于电流表电流为零时电压表示数。

由③式得：E0=E+Er0/RV 解得：E=RVE0/（RV+r0），可见测量值小于真实值E0。

以上是按照解析分析得到的结果。

如果采用“等效电源”分析：将电池和伏特表看成一个“电源”，实验测量的是这个“等效电源”的E和r，如图1所示，A、B是“等效电源”的两极，根据“等效电源”与外电路断开时两级间电势差等于“等效电源”电动势这一规律，电动势测量值E应等于AB与外电路断开时AB两端的电压，即E=RvE0/（Rv+r0）；内阻测量值r就等于r0和Rv的并联值，即r=Rvr0/（Rv+r0）。

由此可见，电源电动势测量值E和内电阻的测量值r均比真实值小。

二、若按照图2连接

常规解析方法分析：电流是测准的，路端电压却少测了电流表那部分电压。设电流表内阻为RA，可将①②两式修改：

E0=U1+I1（RA+r0）⑧

E0=U2+I2（RA+r0）⑨

同样，我们可以避开解⑦⑧两式的过程，仍与①②两式对照，可得到方程的解：E=E0；r=RA+r0。

由此可见，电源内阻的测量值等于真实值r0与RA串联，测量值r大于真实值r0，电动势测量值E等于真实值E0。

如果采用“等效电源”分析：可将电池和安培表看成一个“电源”，实际测量的是这个“等效电源”的E和r，如图（2）所示，C、D是“等效电源”的两极，根据“等效电源”与外电路断开时两级间电势差等于“等效电源”电动势这一规律，电动势测量值E应等于CD与外电路断开时CD两端的电压，电动势测量值E等于真实值E0，即E=E0；内阻测量值r等于r0和RA的串联值，即r=RA+r0。

由此可见，电源电动势测量值E等于真实值E0，内电阻的测量值r0大于真实值。

从以上的分析可知，在分析这两种实验电路的误差时，无论从分析伏特表的分流作用入手，还是从分析安培表的分压作用入手，都是既麻烦又难以下手。可是采用“等效电源”的方法，那就会相当的方便，收到意想不到的效果。

（作者单位：河南省郑州市第七十四中学）