基于系统辨识的系统模型

摘要：在对控制系统的分析和设计中，首先必须对系统进行建模讨论。通常的数学模型有三类：根据控制过程内的机理等规律建立模型的方法、通过控制过程输入输出数据确定过程模型结构和参数的建模方法、第三种是介于两者之间的建模方法。通常也称为白箱、黑箱和灰箱模型。本文主要针对第三种灰箱模型，从系统辨识的角度讨论了系统建模的类型。

关键词：系统建模；系统辨识；参数估计；参数模型；非参数模型

中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)16-21286-03

System Modeling Based on the System Identification

XIANG Xiao-yan1, JIANG Xiao-hui2

(1. College of Physical Science and Information Engineering, Jishou University. Jishou 416000, China; 2.College of Mathematics and Computer Science, Jishou University, Jishou 416000, China)

Abstract: In analysing and designing of the control system,the most important is modeling. Mathematical models usually has three categories. The first model building method is according to the mechanism in control process. The second is based on the input and output data of controlling process to model the structure and parameters. The third one is between modeling methods above.Them usually called white box, black-box and grey box model. The methods of system identification are briefly intruduced. And significant types of mathematical model are manly investigated.

Key words: system modeling; system identification; parameter estimation; the model parameters; non-parametric model

1 仿真及建模

一般对控制系统进行设计和分析研究，也就是根据被控对象的特性进行控制器的设计，以获得满足性能指标要求的最优控制系统。分析和研究控制系统的主要目的之一是获得控制器的最佳整定参数。但是在实际生产过程中，大部分的被控对象是比较复杂的，并且要考虑安全性、经济性，以及进行实验研究的可能性等，这在现场实验中往往不易做到，甚至根本不允许这样做。例如，在研究导弹飞行、宇航、反应堆控制系统时，不经模拟仿真实验，将对人类的生命和健康带来很大的危险。这时，就需要对实际系统构建物理模型进行研究，然后把对模型实验研究的结果应用到实际中去，这种方法就叫模拟仿真研究，简称仿真。因此，仿真就是用模型（物理模型或数学模型）代替实际系统进行实验和研究。它所遵循的基本原则是相似原理，即几何相似、环境相似和性能相似。依据这个原理，仿真可分为物理仿真、数学仿真和混合仿真。其中物理仿真需要制作物理模型，必须进行大量的设备制造、安装、调试工作，并且实验数据处理也不方便。数学仿真比物理模型方便简单很多，只要有一台数学仿真设备就可以对不同的控制系统进行仿真实验和研究。

数学仿真的主要工具是计算机，因此一般也称为计算机仿真。其一般过程为：①根据仿真目的确定仿真方案；②建立系统的数学模型；③建立仿真模型；④编写仿真程序；⑤进行仿真实验；⑥仿真结果分析。通常，将实际系统抽象为数学模型，称为一次模型化，涉及系统辨识技术问题，又称为建模问题。将数学模型转化为可以在计算机上运行的仿真模型，称为二次模型化，涉及到仿真编程、运行、修改等技术，称为系统仿真技术。

数学模型主要有三类，黑箱、白箱和灰箱。相应地，建立数学模型的方法有三类。根据过程内在机理、物料和能量衡算等物理和化学规律建立的模型是白箱模型；用过程输入输出数据确定过程模型结构和参数的方法建立的模型是黑箱；介于两者之间的各种建模方法建立的模型是灰箱模型。

2 数学模型

在生产过程中，最常用的建模方法是将过程看做一个黑箱，根据过程的输入输出数据，通过系统辨识的方法建立数学模型。系统辨识方法有非参数模型辨识和参数模型辨识方法两大类。

2.1 非参数模型

利用直接记录或分析系统的输入和输出信号的方法估计系统的非参数模型。所谓非参数模型是指系统的数学模型中非显式地包含可估参数。例如，系统的传递函数、频率响应、脉冲响应、阶跃响应等都是非参数模型。非参数模型通常以响应曲线或离散值形式表示。非参数模型的辨识可通过直接记录系统输出对输入的响应过程来进行；也可通过分析输入与输出的自相关和互相关函数，或它们的自功率谱和互功率谱函数来间接地估计。非参数模型是经典控制理论中常用的描述线性系统的数学模型。传递函数反映输入与输出的拉普拉斯变换在复数域上的响应关系，频率响应反映它们的傅里叶变换在频率域上的响应关系，而脉冲响应和阶跃响应则是在时域上的响应关系。它们从不同的方面反映系统的动态特性。非参数模型比参数化模型直观，辨识非参数模型的方法和计算也比辨识参数化模型的简单。脉冲响应可以用直接记录输入脉冲函数的输出响应的方法来辨识；频率响应也可以直接利用单频正弦输入信号的响应来辨识。但是这种直接辨识方法只能应用于无随机噪声的确定性系统。对于有随机噪声的系统或随机输入信号，必须使用相关分析法或功率谱分析方法。随着快速傅里叶变换仪、伪随机信号发生器和相关仪的问世，辨识系统的非参数模型已变得比较容易。但非参数模型应用于实时控制和适应性控制仍不如参数化模型方便。非参数模型在某些情形下，可以转化为参数模型。例如，如果一个系统的传递函数可以表示为有理分式H(s)=K/(a+s)，则系统的模型可以用常微分方程y'+ay=ku表示，a与k为待估计的模型参数，这是参数化模型。又如，对于离散系统的权函数序列（离散脉冲响应序列）{hi,i=0,1,…}，如果在i充分大（如i>N0），而│hi│充分小时,则模型可以表示为■并可用最小二乘法给出有穷权函数序列{hi，i=0,1,…N0}的估计。一般说来,由参数模型容易获得非参数的脉冲响应或频率响应，但由非参数模型化为参数模型则要困难得多。

从过程的数学模型对阶跃信号的响应来分析，可将过程的数学模型分为四大类。

2.1.1 自衡非振荡过程

这是工业生产过程中最常见的类型。图1(a)是这类过程的输出响应曲线。常用下列传递函数描述这类过程的数学模型。

■

其中，τ是过程的时滞，K是过程的增益，T是时间常数。

图1 非参数模型过程特性

2.1.2 无自衡非振荡过程

这类过程通常具有积分特性，输出向单方向增加或减少，直到输出达到极限值。图1(b)是这类过程的输出响应曲线。常用下列传递函数描述这类过程的数学模型：

■

2.1.3 自衡振荡过程

这类过程在生产控制中不多见，输出为衰减振荡，最终达到新的稳态。图1(c)是这类过程的输出响应曲线。常用下列传递函数描述这类过程的数学模型：

■

2.1.4 具有反特性的过程

这类过程输出先降（或升）后升（或降），最终根据过程师傅自衡特性，能达到或不能达到新的稳态。一般含有积分特性的过程是不能自衡的。图1(d)是这类过程的输出响应曲线。常用下列传递函数描述这类过程的数学模型：

■

2.2 参数模型

现代控制理论中常用参数模型对过程进行描述，参数模型是指用有限参数描述的过程模型。常用的参数模型有AR模型、ARX模型、ARMAX模型、BJ模型和输出误差模型等，常用状态方程、差分方程或微分方程描述这类参数模型。

2.2.1 自回归模型（AR模型：Auto-Regresive Model）

当过程输出仅与它过去的值有关时，可采用自回归模型。AR模型形式为：

A(q)y(k)=e(k)

其中■

q是延时因子，即q-1y(k)=y(k-1) a1,a2,…,ana 是模型参数，e(k)是白噪声过程。

2.2.2扩展自回归模型（ARX模型：Extended Auto-Regressive Model）

又称受控自回归模型，是扩展控制变量后的自回归模型。ARX模型的形式为：

A(q)y(t)=B(q)u(t-nk)+e(t)

其中

■

nk为控制时滞

2.2.3 扩展自回归滑动平均模型（ARMAX模型：Extended Auto-Regressive,Moving Average Model）

这是应用最广的一类参数模型。ARMAX模型的形式为：

A(q)y(t)=B(q)u(t-nk)+C(q)e(t)

与ARX模型比较，增加了对滑动噪声信号平均值的项。AR模型、ARX模型都是ARMAX模型的特例。

BJ模型（Box-Jenkins Model）

BJ模型的形式为：

y(t)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+[C(q)/D(q)]e(t)

其中，D(q)和F(q)也是q的多项式，阶次分别为nd和nf。

2.2.5 输出误差模型(Output Error Model)

输出误差模型是BJ模型的一个特例，它的形式为：

y(t)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+e(t)

一般输入输出模型

一般输入输出模型通常是ARMAX模型的特例，可以用通用的模型形式来表示：

A(q)y(k)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+[C(q)/D(q)]e(t)

参考文献：

[1] P. Eykhoff, Systems Identification, Wiley, London,1974. 潘科炎、张永光，等译. 系统辨识：状态与系统参数估计[M]. 北京：科学出版社，1980.

[2] 控制系统分析、设计和应用――MATLAB语言的应用[M]. 北京：化学工业出版社，2003.

[3] 李国勇，谢克明.控制系统数字仿真与CAD[M]. 北京：电子工业出版社，2005.

[4] 徐小平，王峰，胡钢. 系统辨识研究[J]. 现代电子技术，2007,(15):112-116.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。