梳理思路还原模型

对待一个新数学问题，我们数学教师总有一种莫名的兴奋，欲解之而后快！从教多年，这个习惯一直不曾改变，然而有些对学生来说就象老虎一样的题目，我总会非常认真地解决，然后分析命题者的命题意图，分析知识点，分析如何与学生分享，给学生带来启迪.数学课的教学计划中，我一学期总会设置分享型欣赏课，跟学生一起感受我是怎么思考的，如何化繁为简，把一个复杂问题，通过逐步思索，最终转化成已经学过的知识，或者已经建立的模型来解决.下面就是一节欣赏课的实录.

首轮重点高中招生考试结束了，学生就问了下面的问题，经过一节课的思考，我临时决定开一节欣赏课.问题是这样的：

如图1，在ABC中，AB=AC，CM平分∠ACB，与AB交于点M，ADBC于点D，MEBC于点E，MFMC，交BC于点F.CF=10，则DE=.

分析这是一道几何综合题，主要难处就在于如何沟通DE和CF.很明显，直接寻找两者之间的关系，难度非常大，必定要搭建一座桥，当然也许是两座桥、三座桥才能顺利沟通；主要考查相似三角形和比例线段知识；当两条线段位于同一直线上的时候，为了探求比例关系，首先要做的事情是转移其中一条线段，使它们不在同一直线上.

解法一点评过程相当繁复，学生至少会遇到①、②、③三个困难，困难①对学生而言，能想到是非常了不起的，没有它，后面的一切过程都不可能实现；困难②，也许容易想到（即便宜是先随手添线，也会得到，但不会深思），但只要不深思，仍不能获得其中的奥秘；貌似③，最容易，而当经历了前面两步艰难的思考以后，可能学生会连这样简单的结果也要花多些时间.因此这个解法，对学生来说：这叫欣赏性解法.必须得改进，必须得重新思考！

反思再关注第一个解法中所得到的结论，探求有没有改进的可能性：首先，从整体方向上，当注意到ED和BM的大小关系的时候，同时注意到MS和AC平行的时候，一个平行四边形诞生了，应该能帮我们解决问题，此时的MT就等于SC，而SC等于CF的一半即5；其次，解法过程显然也有改进的地方.

解法二作出CF的中点S，MT∥BC，

如图3，与一同理证明MS∥AC，

知四边形MSCT是平行四边形，

得到MT=SC=12CF=5.

从而问题得解DE=12SC=2.5.

解法二点评这个解法，已经避开了证明MV=12BM （即使用角平分线定理，这是学生不熟悉的），从思维过程和书写过程上来看已经有了相当的进步，从实质上比解法一改进了很多！但是这些看似简单、自然的线条真的这么容易想到么？我们教师在交流的时候，先想到作平行线MT以后，连结MS和ST，并没有很顺畅地得到，可以想象学生要用这种做法的时候，难度何其大！毕竟，已经是一种进步！毕竟当得到平行四边形的时候，思路不需要先前那么开放，思维的方向性已经很强，可以少走很多弯路了！但不是学生易于想到的（学生一样可能增加思考如何解决几何问题的数学经验）；有没有更加简捷的方式来解决问题呢？必须做颠覆性的思考和尝试.

带着方法二的疑问，重新思考：要想有新的突破，就得跳出上述解题方式的思维定势，再次思考问题的条件：有一条角平分线CM，CM还垂直MF，这就意味着图形中包含了等腰三角形！这一重大发现是否会让解法简便呢？可以让同学们大胆尝试.

解法三延长FM和CA相交于点V，作MU平行CF交AC于点U，如图4，易证CFV是等腰三角形，且M、U都是中点，因此MU=12CF=5，剩下的问题就是证明：

ED=MW=12MV=12×5=52.

这是非常简单的事！

解法三点评这一解法的最大优势是图形简单，还避开了内角平分线定理；只要用“等腰三角形”和“全等”的知识建立数学模型：角平分线和高同时出现时，联想到等腰三角形，然后是中位线，直到问题得解.过程简捷清晰、明快，学生很容易接受.但是这种解法因为比较“精妙”，想到的学生却很少，主要原因应该是：建模能力不足.

解法四当然，做为一个填空题，大部分解出的学生，几乎都用了“特殊值法”：把等腰三角形特殊成等腰直角三角形，通过计算得出长是5/2；据调查发现，大部分是把它特殊成等腰直角三角形，通过艰苦的计算，获得答案；少有学生特殊成等边三角形！其实，特殊成等边三角形的时候，点F和点B重合，点M恰好是AB的中点，连算都不用算，只要用中位线就可以判断出：ED=MW=12BD=14BC=104=52.这到底是命题者的疏忽还是精妙，至少对这样一个“难题”让人感觉有点美中不足！

解法四点评特殊值法，是指面临抽象的代数问题时，取一些有代表性的数字，通过代值计算获得结果，或者面临复杂的几何问题时，把几何图形特殊化成常见容易思考、容易计算的正三角形、正方形等得到结果的解题方法.对选择题来说，特殊值法往往无往不胜，但对填空题，这种方法是有弊病的（会出现漏解）.

当学生很满足地“哦”了一声的时候，按照欣赏课常规：剩下的时间是学生自己“悟”的时间.

本人之所以这样的顺序安排三个问题，而不是直接出示第三个解法，主要是考虑到学生总是更多地关注了结果，常常忽视过程的探索；一个学生感到面目可憎的题目，虽然，这只是一种被动地探索过程，这样的欣赏课，对学生来说，仁者见仁，智者见智，学生可以根据自己的学力、学品、学质，得到不同的发展.其实根据这几年教学的摸索，学生们对这样的课褒贬不一：有的学生说，问题太难了，我学不会，我真的是在欣赏；有的学生说，这样的问题让我能真正体会到数学联想和数学思考的魅力.不论得到学生怎样的评价，数学欣赏课的课后没作业的特点，主要是锻炼学生的领悟能力，对于学有余力的学生来说，从模仿到应用，从欣赏到尝试，如果能梳理出自己可用的思路，还原数学本来模型，就能得到了更有效的提高.