随机利率下的复合 Poisson-Geometric风险模型及破产概率

摘要:本文主要研究的是在随机利率下保费收入为复合Poisson-Geometric过程的风险模型,在随机利率为levy过程的情况下,得到了破产概率满足的积分方程,以及得到最终破产概率的上下界所满足的积分不等式,以此作为保险公司经营的预警信号更具有现实意义。

Abstract: Under the stochastic rates of interest ,we discuss the premium income which is the Compound Poisson-Geometric ,and the stochastic interest is a levy process. Then we get the integral equation of bankruptcy probability and the lower and upper bounds of final bankruptcy probability. As the prewarning signals of the insurance companies it will have more practical significance.

关键词: 随机利率;复合Poisson-Geometric过程;破产概率;levy过程

Key words: stochastic rates of interest;compound poisson-geometric process;bankruptcy probability;levy process

中图分类号:F832.6文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)08-0029-0

在以前的研究中,大部分的模型都是在常利率条件下建立起来的,由于在实际中会有一些不确定的经济行为如经济周期,竞争等的影响,利率若固定的采用一常数可能会带来理论与实际在很大程度上的背离.为了更准确的研究保险公司的破产问题,我们将采用以下模型,即在时间(0,t]内到达的索赔次数服从poisson-Geometric分布,而把利率看作线性随机变量.

我们引入随机利率下的复合Poisson-Geometric风险模型:

Y=eu+edUt0,

其中,Y为t时刻资产余额,0时刻的资产余额为Y=u;u=u(0)0为保险公司的初始准备金;U(t)=ct-Xk,t0,是一个服从复合Poisson-Geometric分布的余额过程;c为单位时间内收取的保费;{Xi,i=1,2,3…}是一列非负独立同分布的随机变量,Xi表示第i次的索赔额,其共同分布为P(x)=1-P(x)=P(Xx);点过程{N(t);t0}是服从参数为λ,ρ的poisson-Geometric过程,N(t)称为(0,t]时间内的索赔次数,且与{Xi,i=1,2,3…}互相独立;T1,T2,…称为索赔时刻,且独立同分布;{Rt;t0}是利率过程,本文假设它是一个Levy过程,且与{Ut,t0}是相互独立的。若假设0时刻资产为1,则t时刻达到e;同样的,若t时刻资产1,则0时刻到达e。

本文主要讨论了带随机利率的复合Piosson-Geometric风险模型,利用Yt在跳点处具有马氏性这一性质,导出破产概率满足的积分方程,然后又分别对{Rt,t0}为标准布朗运动和漂移布朗运动时的破产概率进行了研究。

记T=inf(t:t0,Yt

下面先给出复合Piosson-Geometric过程的定义。

定义1 设,λ>0,0ρ

(1)N(t)=0;

(2){N(t),t0}具有平稳增量;

(3)对t>0,有N(t)~PG(λt,ρ),且E[N(t)]=,Var[N(t)]=。

其中,ρ被称为偏离系数,它刻画了风险事件与赔付事件之间的差异,当ρ=0时,复合Piosson-Geometric过程退化为复合Piosson过程,故PG分布是poisson分布的一种推广。

定义2 称随机变量S对应的概率母函数G(t)=exp所对应的分布为复合Piosson-Geometric分布,记为PG(λt,ρ),其中λ>0,0ρ

注:我们之所以称之为复合Piosson-Geometric分布,是因为我们可以用以下方法得到此分布:设随机变量N服从参数为的复合Piosson分布,{ξi}是独立的服从参数为1-ρ的复合Geometric分布,记:S=ξi,则S的矩母函数为MS(r)=exp。

设Sn=Y,n=1,2,3…,则S=eu+edU,且满足S0=u。

设P(x)=1-P(x)为X1的分布函数,再令A=e,B=eds,(A,B)的联合密度函数为p(y,z)。

定理1:对于n=1,2,3…,且u0,破产概率满足:

Ψ(u)=(uy+cz)p(y,z)dydz

+Ψ(uy+cz-x)dP(x)p(y,z)dydz(1)

证因为{Sn},n=1,2,3,…具有强马氏性,X1与(A,B)相互独立,有:Ψ(u)=Pr(T

=Pr(S1

=E(Ψ(uA+cB-X1))

=Ψ(uy+cz-x)p(y,z)dP(x)dydz

令X1=x,A=y,B=z,当x>uy+cz,则保险公司在发生第一次索赔时破产,即Pr(S1

当x

Ψ(u)=(uy+cz)p(y,z)dydz

+Ψ(uy+cz-x)p(y,z)dP(x)dydz

综上可知,结论成立。

定理2 破产概率的下限:

Ψ(u)(2)

证Ψ(u)为递减函数,利用0

Ψ(uy+cz-x)dP(x) Ψ(uy+cz)P(uy+cz) Ψ(u)P(uy+cz)

则:Ψ(uy+cz-x)dP(x)p(y,z)dydz

Ψ(uy+cz-x)dP(x)dydz

Ψ(u)P(uy+cz)p(y,z)dydz

=Ψ(u)P(uy+cz)p(y,z)dydz

整理后即得结论。

当Rt为非负的levy过程时,我们又可以得到破产概率Ψ(u)的上限。

引理1 假设Rt0,且存在常数R>0,满足:

E(exp{R(X1-cB)})=1

定理3 对任意u>0,有:

Ψ(u)αE(exp{RX1})E(exp{-R(uA+cB)})αexp{-Ru}(3)

此处:α-1=inft0,0

证:对任意的ω>0,我们构造等式如下:

P(ω)=exp{-Rω}exp{Rx}dP(x)

αexp{-Rω}exp{Rx}dP(x)

αexp{-Rω}E(exp{RX})

那么,由上式,对u0有:

Ψ(u)=E(P(uA+uB)) αE(exp{RX})E(exp{-R(uA+cB)})

因为:A=e>1,B=edUs0

Ψ(uy+cz-x)αE(exp{RX})E(exp{-R[(uy+cz-x)A+cB]})

αE(exp{RX})E(exp{-R(uy+cz-x)-RcB})

αE(exp{R(X-cB)}exp{-R(uy+cz-x)})

=αexp{-R(uy+cz-x)}

利用cai(2004)推论2.3中的证明,可得结论成立。

引理2:令Rt为标准布朗运动,即Rt=Bt,则e,eds的联合密度函数为gt(y,z),有:

gt(y,z)=12yz•exp{-2(1+y)z}ε(t4),y>0,z>0(4)

其中,ε(u)=expexp{z2u}exp{-rcosh z}

(sinh y)sinh(πzu)dy

定理4:如果Rt=Bt,则破产概率满足:

Ψ(u)=λ(1-ρ)P(uy+cz)

gt(y,z)dydz+Ψ(uy+cz-x)gt(y,z)dP(x)dydz(5)

证 由定理1,我们可知:

Ψ(u)=E[Ψ(S1)]=EΨ(eU+ceds-X1)

=EΨ(eU+ceds-X)│N(tk)h(N(t)k)dt

=λ(1-ρ)P(uy+cz)gt(y,z)dydz

+Ψ(uy+cz-x)gt(y,z)dP(x)dydz

引理2: 令Rt为漂移布朗运动,即Rt=δt+σBt,δ>0,σ为漂移系数,则e,eds的联合密度函数为:

ft(y,z)=exp--ε

y>0,z>0

这里εr(u)的取值与引理2的相同。

定理5:如果Rt=δt+σBt,破产概率满足如下积分方程:

Ψ(u)=λ(1-ρ)+P(uy+cz)

ft(y,z)dydz+Ψ(uy+cz-x)ft(y,z)dP(x)dydz

证法与上相同。

参考文献:

[1] Cai J.,Ruin probability and penalty functions with stochastic rates of interest [J] . Stochastic Proc. Appl.,2004 ,112 :53-78.

[2]王广华,吕玉华,王洪波.随机利率下的Erlang(2)风险模型[J].应用数学,2006,19(2):395-400.

[3]毛泽春,刘锦萼.索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的风险模型及破产概率[J].应用数学学报,2005,28(3):419-428.

[4]廖基定.复合Poisson-Geometric风险模型Gerber-Shiu折现惩罚函数[J].应用数学学报.

[5]Fima C Klebaner.Inroduce to stochastic Calculus with Application.Imperial college press,1998.

[6]张波,张晋肖编著.应用随机过程(第二版).北京:清华大学出版社, 2007年3月第4 次印刷.