随机事件的概率

１． 重点

①了解概率的意义以及频率与概率的区别；理解并掌握两个互斥事件的概率加法公式；

②通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；能初步运用排列、组合的公式计算一些等可能性事件的概率．

③理解几何概型及其概率计算公式，能准确构造出某一随机事件对应的几何图形，并利用几何图形的度量来求随机事件的概率．

２． 难点

①如何判断一个试验是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；

②如何把实际问题转化为几何概型的问题，实现不同“测度”（长度、面积、体积）几何概型的区分．

1． 解决古典概型问题的一般思路．

①判断模型：基本事件只有有限个，每个基本事件出现的可能性相等．

②正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，一般用列举法，有时可用到计数原理的相关知识．

③对于某些稍复杂的事件要准确理解基本事件的构成，通常有两种处理的方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是转化为对立事件的概率求解．求解时一定要注意正确分类，并保证分类时不重不漏．

2． 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域，有时还需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）

A． 至少有1个白球，都是白球

B． 至少有1个白球，至少有1个红球

C． 恰有1个白球，恰有2个白球

D． 至少有1个白球，都是红球

思索 根据事件的互斥与对立的关系判定．

破解 A、B不互斥，当然也不对立，C互斥而不对立，D不但互斥而且对立，所以选C．

（1）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；

（2）抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；

（3）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．

思索 第1问要求“抽出的3张卡片上最大的数字是4”，可分为“3张卡片中只有一张为4”和“3张卡片中有两张为4”两类彼此互斥的事件，则可运用概率的加法公式求解．第3问要求“抽出的3张卡片上的数字互不相同”，若采用直接分类可能会造成重漏事件，则考虑用间接法求解．

如图1，两人到达约见地点的所有时刻（x，y）的可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示；两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x，y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）的点来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率， 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b=0．

（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

（2）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

思索 古典概型与几何概型的区别在于：所有可能出现的基本事件是有限个还是无限个． 本题第1问基本事件数为有限个，属于古典概型问题；第2问中a，b两个数都在连续的区间内取，基本事件数为无限个，属于几何概型问题．

破解 设事件A为“方程x2+2ax+b=0有实根”． 当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b=0有实根的充要条件为a2≥b．

（1）强化概念的理解，可结合具体问题辨析各个概念，特别是互斥事件、对立事件和相互独立事件是三个核心概率事件，它贯穿于概率问题的始终，一定要认真掌握．

（2）要立足于基础知识、基本方法，应恰当选取典型例题，构建思维模式，特别是古典概型、几何概型的基本问题的练习要多做，还可适当整理归纳．

（3）概率试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧并赋予时代气息的元素，复习时要多方面感受新的设计理念．